Forum : probabilités :
succession lancers pièce

bonsoir, voici un problème que je peine a résoudre, donc si vous pouviez m'aider ??


on effectue une succession infinie de lancers indépendants d'une piece donnant pile avec la proba p E ]0,1[ et face avec la proba q (=1-p). on dit que la 1ere série est de longueur n>1 si les n premiers lancers ont amené le même côté de la pièce et le (n+1)ième l'autre coté.
de même, la 2e série commence au lancer suivant la fin de la 1ere série et se termine (si elle se termine) au lancer précédant un changement de coté. on définit de même les séries suivantes.
pour tout i (entier naturel non nul), P_i:"le i-ieme lancer amène pile" et F_i l'événement contraire.
A) 1. soit L₁ la longueur de la 1ere série.
exprimer l'événement [L₁=n] en fonction de P_i et F_i pour i de [|1, n+k+1|]
en déduire que P(L₁=n)= pⁿq+qⁿp
> j'ai réussi

2. soit L₂ la longueur de la 2e série
a. exprimer [L₁=n][L₂=k] en fonction de P_i et F_i pour i de [|1, n+k+1|] puis calculer P([L₁=n][L₂=k])
b. en déduire que P(L₂=k) = p²q^k-1+q²p^k-1 pour tout entier naturel k non nul
c. montrer que E(L₂)=2

B) On considère que la pièce est parfaitement équilibrée (p=1/2). soit N_n le nombre de séries lors des n lancers
- la 1ere série est donc de longueur k<n si les k premiers lancers ont amené le même côté de la pièce et ke (k+1)ieme l'autre coté et de longueur n si les n premiers lancers ont amené le même côté de la piece
- la dernière série se termine nécessairement au n-ieme lancer.
par exemple, si les lancers successifs donnent FFPPPPFFPPP..., on a pour une telle succession :
N₁() = N₂() = 1, N₃()=... = N₆()=2, N₇()=N₈()=3, N₉()=..=N₁₀()=4.
on admet que N_n est une variable aléatoire sur (,A,P)
1. lois de N₁,N₂,N₃ ? + leur espérance
2. N_n() ? puis calculer P(N_n=1) et P(N_n=n)

C) on pose pour tout entier naturel  n non nul et pour tout s de [0,1], G_n(s)=(pour k=1 à n) P(N_n=k)s^k
a. comparer l'esperance de la variable aléatoire s^N_n avec G_n(s)
b. que représente G_n'(1)
c. montrer que pour tout n2 et pour tout k de [|1,n|]
P([N_n=k]P_n) = 1/2P([N_n-1 = k]P_n-1) + 1/2P([N_n-1 = k-1] F_n-1)


merci beaucoup de votre aide

bonne soirée

Bonjour,

Merci de donner les réponses que tu proposes aux premières questions.

Nicolas

je ne suis pas sur, mais pour la 1 :
[L₁=n]=[Pi=n][Fi=n]
donc P[L1=n]=pⁿq+pqⁿ
car on peut avoir pour la 1e série : PPP...F = pⁿq ou FF...P = qⁿp

non ?

pouvez vous m'aider pour la suite svp ??

merci ^^

La 2ème ligne de ton message précédent :
- est fausse dans son esprit ;
- n'a pas de sens : Pi est la probabilité que le i-ème lancer soit "pile" : Pi=n ne veut rien dire.

A.1.

Or les deux évènements séparés par "ou" sont incompatibles :

Or les lancers successifs sont indépendants :

A.2.a.





A.2.b.

A justifier à partir du cours :







A.2.c.


(*)

Pour tout x compris strictement entre 0 et 1 :

On dérive par rapport à x :

On multiplie chaque membre par x :


On déduit donc de (*) que :