Droites concourantes

Posté par colombes colombes

Bonjour,
Je voulais juste savoir comment prouver que 3 droites sont concourantes avec l'énoncé suivant:
ABC un triangle. I,J et K sont définis par:
I symétrique de B par rapport à C
J: vecteur AJ=(2/5)vecteur AC
K symétrique du milieu de [AB] par rapport à A
Les droites AI, BJ et CK sont elles concourantes?
Justifier
Merci de votre aide
Colombes

Posté par plumemeteore plumemeteore

bonjour Colombes
place la figure dans un repère, avec par exemple B comme origine, [BC] comme base des abscisses et [BA] comme base des ordonnées
ainsi A est en (0;1) et C en (1;0)
calcule les ordonnées des points I, J et K
J : aj = ba+aj = (0;1)+2/5(1;-1) = (0;1)+(2/5;-2/5) = (2/5;3/5)
puis les équations des droites (AI), (BJ) et (CK)
puis les points de rencontre de deux paires de ces droites, par exemples de (AI) et de (BJ) et de (AI) et de (CK) : ces deux points ne devraient en faire qu'un

Posté par colombes colombes

d'apres le schéma?
Colombes

Posté par homere homere

bonsoir,

On peut aussi utiliser la théorie des barycentres.

C'est moins évident mais en cherchant un peu.....

Les relations vectorielles associées à I,J et K permettent d'écrire:

I = Bar (B,-1) et (C,2)

J = Bar (A,3) et (C,2)

K = Bar (A,3) et (B,-1)

Soit G = Bar (A,3) (B,-1) et (C,2)


en remplaçant les 2 premiers points par leur barycentre partiel

G=Bar (K,2) et (C,2)  donc G est au milieu du [KC]


en remplaçant le premier et le dernier par leur barycentre partiel

G = Bar (J,5) et (B,-1)  donc G sur la droite (JB)


en remplaçant les 2 derniers

G = Bar (A,3) et (I,1)   donc G setrouve sur la droite (AI)

Posté par colombes colombes

Bonsoir,
Je n'aime pas vraiment recopier sans comprendre ^^
Pourrais-tu m'expliquer comment tu trouves:
I = Bar (B,-1) et (C,2)

J = Bar (A,3) et (C,2)

K = Bar (A,3) et (B,-1)

Les barycentres, ca remonte ^^ et à part b/(a+b), je ne me souviens pas de grand chose :p
Merci
Colombes

Posté par homere homere

bonsoir,

Tu as parfaitement raison: copier sans comprendre c'est complètement ridicule.
Mais si tu ne sais plus rien sur les barycentres, je ne peux pas te faire un cours dessus :  ce serait trop long.

Enfin ...voyons un peu...

G= bar (A,a) et (B,b)  signifie  (en vecteurs ) aGA+bGB=0

I= bar (B,-1) et (C,2)  signifie -IB+2IC=0  soit IB=2IC soit  C milieu de [IB]

de même pour J  on a 3JA+2JC=0  et en utilisant Chasles tu trouverss AJ=(2/5)AC

Posté par homere homere

L'utilisation des barycentres est simple, rapide et élégante (digne d'un bon élève !!).

Alors , je continue ??

Posté par colombes colombes

Bonjour,
D'après l'énoncé, moi je trouve que(en vecteurs) AK=3/4 AB puisque K est le symétrique DU MILIEU de [AB] par rapport à A.
C'est comme cela qu'il faut le comprendre?
Sinon, pour les autres Bary. j'ai compris, merci

Colombes

Posté par colombes colombes

Oups, oublié de préciser
Si AK=3/4 AB, alors a=1 et b=3 non??
Donc K bary. de (B;3)(A;1) non ?
Merci
Colombes

Posté par colombes colombes

A moins que ce ne soit (A;3) (B;1) plutôt
Gnnn J'enrage  
Merci
Colombes

Posté par colombes colombes

Snif homere reviens stp

Posté par colombes colombes

Up svp

Posté par homere homere

bonsoir

Soit P le milieu de [AB]

K symétrique de P par rapport à A donc en vecteur KA=AP=PB

on peut donc dire  que KB=3KA  donc 3KA-KB=0

donc K=bar (A,3) et de (B,-1)

d'accord ?

Posté par homere homere

alors comme prévu  a=3  et b=-1

Posté par homere homere

prendre toujours les vecteurs ayant comme origine  le barycentre.

Ici le point K ou le point I ou le point J

Posté par homere homere

de toute manière, on ne peut pas avoir AK=3/4 AB

AK et AB sont des vecteurs de sens contraires

AK=-(1/2)AB  ou AK=(1/2)BA

en longueur AK est égal à la moitié de AB

Posté par colombes colombes

Bonsoir,
Merci beaucoup pour vos réponses et explications précises homere:
Vous êtes absolument génial! Grâce à vous,j'ai tout compris sur les barycentres qui m'avaient causé quelques soucis en début d'année !!
Merci mille fois.
Colombes

Posté par homere homere

C'est trop...mais ce fut un plaisir de t'initier à cette théorie trop souvent méconnue.

Posté par colombes colombes

Bonjour,
Je voulais juste savoir comment on trouve G barycentre de (A;3)(B;-1)(C;2)
Merci de votre aide
Colombes

Posté par homere homere

bonjour,


En fait on essaie de créer un barycentre des 3 points A , B et C qui contienne  les décompositions des 3 autres points I ,J et K.

L'existence de G est assurée si la somme des coefficients associés à A , B et C  est non nulle.

(Ici la somme est 3-1+2=4)

La difficulté est de trouver les bons coefficients pour que "ça marche".


Je te rappelle que si ,par exemple,  K est le barycentre de  (A,3) et (B,-1) c'est aussi le barycentre de  (A,6) et (B,-2) ou de  (A,-3) et (B,1).

Il faut trouver le jeu des bons coefficients. C'est en général facile mais pas toujours....

Posté par colombes colombes

Rebonjour homere =),
Je te remercie pour ta réponse rapide mais je me demande:
Comment trouve-t-on ces coefficients
Il n'y a qu'a écrire G bary. de machinchose et puis voila où il y a des calculs préliminaires ?? Avec tous mes respects
Merci beaucoup
Colombes

Posté par colombes colombes

Je me suis mal exprimé pardon
Je voulais savoir pourquoi on affectait G bary. de A, B et C dans l'exercice?? Cela prouve-t-il que ces 3 droites sont concourantes ??
Merci
Colombes

Posté par lafol lafol

Bonsoir colombes
homere n'a plus l'air d'être connecté, je te dépanne en attendant son retour :
il t'a montré avec les barycentres partiel que G était barycentre de A et I avec certains coeffs : ça prouve que G est sur (AI) : un barycentre de deux points est toujours aligné avec ces deux points.
pareil pour (JB) et (KC) : donc ces droites passent toutes par G, elles sont concourantes en G

Posté par homere homere



calculs préliminaires:
On cherche d'abord les coefficients de A de B et de C qui répondent aux hypothèses de l'exo.


Il faut trouver un jeu de coefficients qui soient valables pour les 3 points

Ici on a  (B,-1)et (C,2) , (A,3) et (C,2) , (A,3) et (B,-1)

A a comme coefficient 3   pour J et K
B a comme coefficient -1  pour I et K
C a comme coefficient 2   pour I et J

Si on n'arrive pas à trouver de tels coefficients, cela prouvera que  les 3 droites ne sont pas concourantes.

Le point G est crée uniquement pour la démonstration mais les coefficients sont loin d''être pris au hasard. Ils dépendent étroitement  des valeurs obtenues dans I, J, et K

Posté par homere homere

bonsoir Lafol

toujours en forme ??

Posté par lafol lafol

ça va et toi ? je te laisse finir ...

Posté par homere homere

j'espère qu'à nous deux nous arriverons à convaincre "colombes" que la théorie des barycentres est un "truc" superbe...

Posté par lafol lafol

elle a l'air déjà acquise à notre cause

Posté par colombes colombes

Bonsoir,
Merci de vos réponses précises ^^
Je n'ai jamais remis en cause la théorie des barycentres, seulement je ne la comprenais pas voila tout
Merci beaucoup encore une fois homere (et lafol ^^) et je n'éspère pas à une nouvelle fois(ca serait bien que je me "débrouille" tout seul la prochaine fois )
Colombes =)

Posté par lafol lafol

Colombes : on peut aussi te croiser sur le forum détente, si tu n'as plus besoin de nous pour t'aider, ou, qui sait, en train d'expliquer le barycentre à d'autres, l'an prochain ?

Posté par homere homere

D'accord....Alors à l'année prochaine ...peut-être...

Posté par colombes colombes

on sait jamais ^^ Tout peut arriver, je serai peut-etre prof de maths plus tard (faut peut-etre pas exagerer non plus)
A l'année prochaine surement, je vais prendre spé. maths ca va pas etre de la tarte pour moi donc... j'aurai toujours besoin de vous !! ^^
A bientot
Colombes

Posté par lafol lafol

à bientôt