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Droites concourantes


premièreDroites concourantes

#msg1889701#msg1889701 Posté le 24-05-08 à 22:27
Posté par Profilcolombes colombes

Bonjour,
Je voulais juste savoir comment prouver que 3 droites sont concourantes avec l'énoncé suivant:
ABC un triangle. I,J et K sont définis par:
I symétrique de B par rapport à C
J: vecteur AJ=(2/5)vecteur AC
K symétrique du milieu de [AB] par rapport à A
Les droites AI, BJ et CK sont elles concourantes?
Justifier
Merci de votre aide
Colombes
re : Droites concourantes#msg1889735#msg1889735 Posté le 24-05-08 à 22:42
Posté par Profilplumemeteore plumemeteore

bonjour Colombes
place la figure dans un repère, avec par exemple B comme origine, [BC] comme base des abscisses et [BA] comme base des ordonnées
ainsi A est en (0;1) et C en (1;0)
calcule les ordonnées des points I, J et K
J : aj = ba+aj = (0;1)+2/5(1;-1) = (0;1)+(2/5;-2/5) = (2/5;3/5)
puis les équations des droites (AI), (BJ) et (CK)
puis les points de rencontre de deux paires de ces droites, par exemples de (AI) et de (BJ) et de (AI) et de (CK) : ces deux points ne devraient en faire qu'un
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Droites concourantes#msg1889771#msg1889771 Posté le 24-05-08 à 22:58
Posté par Profilcolombes colombes

Citation :
J : aj = ba+aj
d'apres le schéma?
Colombes
re : Droites concourantes#msg1889867#msg1889867 Posté le 25-05-08 à 00:31
Posté par Profilhomere homere

bonsoir,

On peut aussi utiliser la théorie des barycentres.

C'est moins évident mais en cherchant un peu.....

Les relations vectorielles associées à I,J et K permettent d'écrire:

I = Bar (B,-1) et (C,2)

J = Bar (A,3) et (C,2)

K = Bar (A,3) et (B,-1)

Soit G = Bar (A,3) (B,-1) et (C,2)


en remplaçant les 2 premiers points par leur barycentre partiel

G=Bar (K,2) et (C,2)  donc G est au milieu du [KC]


en remplaçant le premier et le dernier par leur barycentre partiel

G = Bar (J,5) et (B,-1)  donc G sur la droite (JB)


en remplaçant les 2 derniers

G = Bar (A,3) et (I,1)   donc G setrouve sur la droite (AI)
re : Droites concourantes#msg1893315#msg1893315 Posté le 26-05-08 à 21:13
Posté par Profilcolombes colombes

Bonsoir,
Je n'aime pas vraiment recopier sans comprendre ^^
Pourrais-tu m'expliquer comment tu trouves:
I = Bar (B,-1) et (C,2)

J = Bar (A,3) et (C,2)

K = Bar (A,3) et (B,-1)

Les barycentres, ca remonte ^^ et à part b/(a+b), je ne me souviens pas de grand chose :p
Merci
Colombes
re : Droites concourantes#msg1893536#msg1893536 Posté le 26-05-08 à 22:59
Posté par Profilhomere homere

bonsoir,

Tu as parfaitement raison: copier sans comprendre c'est complètement ridicule.
Mais si tu ne sais plus rien sur les barycentres, je ne peux pas te faire un cours dessus :  ce serait trop long.

Enfin ...voyons un peu...

G= bar (A,a) et (B,b)  signifie  (en vecteurs ) aGA+bGB=0

I= bar (B,-1) et (C,2)  signifie -IB+2IC=0  soit IB=2IC soit  C milieu de [IB]

de même pour J  on a 3JA+2JC=0  et en utilisant Chasles tu trouverss AJ=(2/5)AC
re : Droites concourantes#msg1893540#msg1893540 Posté le 26-05-08 à 23:03
Posté par Profilhomere homere

L'utilisation des barycentres est simple, rapide et élégante (digne d'un bon élève !!).

Alors , je continue ??
Droites concourantes#msg1893967#msg1893967 Posté le 27-05-08 à 17:47
Posté par Profilcolombes colombes

Bonjour,
D'après l'énoncé, moi je trouve que(en vecteurs) AK=3/4 AB puisque K est le symétrique DU MILIEU de [AB] par rapport à A.
C'est comme cela qu'il faut le comprendre?
Sinon, pour les autres Bary. j'ai compris, merci
Citation :
L'utilisation des barycentres est simple, rapide et élégante (digne d'un bon élève !!).

Colombes
Droites concourantes#msg1893972#msg1893972 Posté le 27-05-08 à 17:49
Posté par Profilcolombes colombes

Oups, oublié de préciser
Si AK=3/4 AB, alors a=1 et b=3 non??
Donc K bary. de (B;3)(A;1) non ?
Merci
Colombes
Droites concourantes#msg1893982#msg1893982 Posté le 27-05-08 à 17:53
Posté par Profilcolombes colombes

A moins que ce ne soit (A;3) (B;1) plutôt
Gnnn J'enrage  
Merci
Colombes
Droites concourantes#msg1894146#msg1894146 Posté le 27-05-08 à 18:49
Posté par Profilcolombes colombes

Snif homere reviens stp
Droites concourantes#msg1894233#msg1894233 Posté le 27-05-08 à 19:19
Posté par Profilcolombes colombes

Up svp
Droites concourantes#msg1894425#msg1894425 Posté le 27-05-08 à 20:17
Posté par Profilhomere homere

bonsoir

Soit P le milieu de [AB]

K symétrique de P par rapport à A donc en vecteur KA=AP=PB

on peut donc dire  que KB=3KA  donc 3KA-KB=0

donc K=bar (A,3) et de (B,-1)

d'accord ?
Droites concourantes#msg1894432#msg1894432 Posté le 27-05-08 à 20:19
Posté par Profilhomere homere

alors comme prévu  a=3  et b=-1
Droites concourantes#msg1894442#msg1894442 Posté le 27-05-08 à 20:22
Posté par Profilhomere homere

prendre toujours les vecteurs ayant comme origine  le barycentre.

Ici le point K ou le point I ou le point J
Droites concourantes#msg1894480#msg1894480 Posté le 27-05-08 à 20:35
Posté par Profilhomere homere

de toute manière, on ne peut pas avoir AK=3/4 AB

AK et AB sont des vecteurs de sens contraires

AK=-(1/2)AB  ou AK=(1/2)BA

en longueur AK est égal à la moitié de AB
Droites concourantes#msg1894675#msg1894675 Posté le 27-05-08 à 21:50
Posté par Profilcolombes colombes

Bonsoir,
Merci beaucoup pour vos réponses et explications précises homere:
Vous êtes absolument génial! Grâce à vous,j'ai tout compris sur les barycentres qui m'avaient causé quelques soucis en début d'année !!
Merci mille fois
.
Colombes
Droites concourantes#msg1894715#msg1894715 Posté le 27-05-08 à 22:13
Posté par Profilhomere homere

C'est trop...mais ce fut un plaisir de t'initier à cette théorie trop souvent méconnue.
droites concourantes#msg1903083#msg1903083 Posté le 04-06-08 à 16:48
Posté par Profilcolombes colombes

Bonjour,
Je voulais juste savoir comment on trouve G barycentre de (A;3)(B;-1)(C;2)
Merci de votre aide
Colombes
re: droites concourantes#msg1903259#msg1903259 Posté le 04-06-08 à 18:16
Posté par Profilhomere homere

bonjour,


En fait on essaie de créer un barycentre des 3 points A , B et C qui contienne  les décompositions des 3 autres points I ,J et K.

L'existence de G est assurée si la somme des coefficients associés à A , B et C  est non nulle.

(Ici la somme est 3-1+2=4)

La difficulté est de trouver les bons coefficients pour que "ça marche".


Je te rappelle que si ,par exemple,  K est le barycentre de  (A,3) et (B,-1) c'est aussi le barycentre de  (A,6) et (B,-2) ou de  (A,-3) et (B,1).

Il faut trouver le jeu des bons coefficients. C'est en général facile mais pas toujours....
droites concourantes#msg1903266#msg1903266 Posté le 04-06-08 à 18:20
Posté par Profilcolombes colombes

Rebonjour homere =),
Je te remercie pour ta réponse rapide mais je me demande:
Comment trouve-t-on ces coefficients
Il n'y a qu'a écrire G bary. de machinchose et puis voila où il y a des calculs préliminaires ?? Avec tous mes respects
Merci beaucoup
Colombes
droites concourantes#msg1903270#msg1903270 Posté le 04-06-08 à 18:21
Posté par Profilcolombes colombes

Je me suis mal exprimé pardon
Je voulais savoir pourquoi on affectait G bary. de A, B et C dans l'exercice?? Cela prouve-t-il que ces 3 droites sont concourantes ??
Merci
Colombes
re : Droites concourantes#msg1903326#msg1903326 Posté le 04-06-08 à 18:45
Posté par Profillafol lafol Moderateur

Bonsoir colombes
homere n'a plus l'air d'être connecté, je te dépanne en attendant son retour :
il t'a montré avec les barycentres partiel que G était barycentre de A et I avec certains coeffs : ça prouve que G est sur (AI) : un barycentre de deux points est toujours aligné avec ces deux points.
pareil pour (JB) et (KC) : donc ces droites passent toutes par G, elles sont concourantes en G
re: droites concourantes#msg1903342#msg1903342 Posté le 04-06-08 à 18:50
Posté par Profilhomere homere



calculs préliminaires:
On cherche d'abord les coefficients de A de B et de C qui répondent aux hypothèses de l'exo.


Il faut trouver un jeu de coefficients qui soient valables pour les 3 points

Ici on a  (B,-1)et (C,2) , (A,3) et (C,2) , (A,3) et (B,-1)

A a comme coefficient 3   pour J et K
B a comme coefficient -1  pour I et K
C a comme coefficient 2   pour I et J

Si on n'arrive pas à trouver de tels coefficients, cela prouvera que  les 3 droites ne sont pas concourantes.

Le point G est crée uniquement pour la démonstration mais les coefficients sont loin d''être pris au hasard. Ils dépendent étroitement  des valeurs obtenues dans I, J, et K
droites concourantes#msg1903351#msg1903351 Posté le 04-06-08 à 18:52
Posté par Profilhomere homere

bonsoir Lafol

toujours en forme ??
re : Droites concourantes#msg1903355#msg1903355 Posté le 04-06-08 à 18:52
Posté par Profillafol lafol Moderateur

ça va et toi ? je te laisse finir ...
re : Droites concourantes#msg1903367#msg1903367 Posté le 04-06-08 à 18:55
Posté par Profilhomere homere

j'espère qu'à nous deux nous arriverons à convaincre "colombes" que la théorie des barycentres est un "truc" superbe...
re : Droites concourantes#msg1903377#msg1903377 Posté le 04-06-08 à 18:59
Posté par Profillafol lafol Moderateur

elle a l'air déjà acquise à notre cause
droites concourantes#msg1903394#msg1903394 Posté le 04-06-08 à 19:07
Posté par Profilcolombes colombes

Bonsoir,
Merci de vos réponses précises ^^
Je n'ai jamais remis en cause la théorie des barycentres, seulement je ne la comprenais pas voila tout
Merci beaucoup encore une fois homere (et lafol ^^) et je n'éspère pas à une nouvelle fois(ca serait bien que je me "débrouille" tout seul la prochaine fois )
Colombes =)
re : Droites concourantes#msg1903399#msg1903399 Posté le 04-06-08 à 19:09
Posté par Profillafol lafol Moderateur

Colombes : on peut aussi te croiser sur le forum détente, si tu n'as plus besoin de nous pour t'aider, ou, qui sait, en train d'expliquer le barycentre à d'autres, l'an prochain ?
re : Droites concourantes#msg1903409#msg1903409 Posté le 04-06-08 à 19:13
Posté par Profilhomere homere

D'accord....Alors à l'année prochaine ...peut-être...
droites concourantes#msg1903416#msg1903416 Posté le 04-06-08 à 19:16
Posté par Profilcolombes colombes

on sait jamais ^^ Tout peut arriver, je serai peut-etre prof de maths plus tard (faut peut-etre pas exagerer non plus)
A l'année prochaine surement, je vais prendre spé. maths ca va pas etre de la tarte pour moi donc... j'aurai toujours besoin de vous !! ^^
A bientot
Colombes
re : Droites concourantes#msg1903841#msg1903841 Posté le 05-06-08 à 00:32
Posté par Profillafol lafol Moderateur

à bientôt

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