SURFACE terminale

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SURFACE terminale

Posté le 25-05-08 à 15:17

Posté par xunil

bonjour,

Citation :
Soit S la surface d'équation $xyz=1$ .

1) Soit D une droite passant par O. Démontrer que D ne coupe pas S ou coupe S en un point.

2) S admet t-elle un centre de symétrie.

1) soit $\vec{u}(a;b;c)$ un vecteur directeur de D.

$M(x;y;z)\in S\cap P \Rightarrow \exists t\in \mathbb{R}^*|\left{x=ta\\y=tb\\z=tc\\t^3abc=1$

mas après pour travailler l'égalité $abc=\frac{1}{t^3}$ ...

2) benh le point O semble donné mais:

$M(x;y;z) \in S$ <=> $xyz=1$ .

cependant le point $M'(-x;-y;-z)$ n'appartient pas à S et donc en fait O n'est pas centre de symétrie pourtant :

et je ne vois pas d'autre point ...

merci

re : SURFACE terminale

Posté le 25-05-08 à 15:29

Posté par xunil

benh non la figure a raison O n'est pas centre de symétrie... en fait il suffit de dire que :

M et M' deux points tel que M' soit le symétrique de M par rapport à $H(m;n;p)$ .

$M'(2m-x;2n-y;2p-z)$

$M \in S <=> xyz=1$

on regarde si on peut trouver des triplets de réels $(m;n;p)$ tels que :

$(2m-x)(2m-y)(2p-z)=1$

seulement c'est très calculatoire et on a pas l'air de s'en sortir avec ca ...

donc si vous avez une jolie méthode ...

merci

re : SURFACE terminale

Posté le 25-05-08 à 15:52

Posté par disdrometre

salut xunil

si M(x,y,z) et M'(x',y',z') des points distincts appartenant à S et alignés avec O(0,0,0)
donc il existe t réel
OM'= tOM

d'une part    x'=tx ; y'=ty ; z'=tz

et d'autre part  xyz=1 ; x'y'z'=1
donc
$x'y'z'=t^3 xyz$

$xyz=t^3 xyz$

et x'y'z'=xyz=1

on a donc

$xyz(t^3-1)=0$

puisque xyz=1 => $(t^3-1)=0$   => (t-1)(t²+t+1)=0 l'unique solution t=1 => M'=M

salutations disdrometre

Posté le 25-05-08 à 16:07

Posté par xunil

nickel je prend !

sinon pour le centre de symétrie as tu une autre méthode ?

merci

re : SURFACE terminale

Posté le 25-05-08 à 16:29

Posté par disdrometre

posons
f(x,y,z)=xyz

f(-x,-y,z)=f(x,y,z)  symétrie par rapport à la droite z'z
f(-x,y,-z)=f(x,y,z)  symétrie par rapport à la droite y'y
f(x,-y,-z)=f(x,y,z)  symétrie par rapport à la droite x'x

si S a un centre de symétrie il est donc à l'intersection de ces symétries axiales, donc O serait ce centre..

or f(-x,-y,-z) = -f(x,y,z) , donc ce n'est pas le cas , S n'admet pas de centre de symétrie..

re : SURFACE terminale

Posté le 25-05-08 à 16:32

Posté par xunil

quel talent mais quelle déception pour moi de ne pas avoir trouvé !

merci encore disdrometre

@+

re : SURFACE terminale

Posté le 25-05-08 à 16:36

Posté par disdrometre

je t'en prie

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