Forum : énigmes :
[détente]_JFF_Les révisions de veleda

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En appelons n le nombre de pages et p le numéro de la "première" page de la première feuille enlevée, on a



qui donne n²-257n-20p+2490 = 0

La somme des solutions est 257, donc n < 257 ; et compte tenu du 129 donné, on ne doit pas être trop loin ; effectivement au 2ème coup ça semble marcher : n = 255 donne p = 99. Un peu grossier comme méthode, mais..

Donc 255 pages et les pages 99 à 108 (incluse).

sauf erreur.

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Je le note...

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Je note 2x le nombre de pages du livre neuf et 2y+1 le numéro de la première page arrachée. Je calcule, en fonction de x et y, la moyenne des numéros des pages qui restent (il y a deux progressions arithmétiques à sommer.) En écrivant que cela fait 129, cela me donne une relation entre x et y. Sauf erreur probable:
4x^2-2.257x-40y+2470=0.
La suite un peu plus tard...

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soient f et p les nombres initiaux de feuilles et de pages
on a toujours ap = 2af
la somme des numéros de page est p²/2 + p/2 = (2f)²/2 + 2f/2 = 2f²+f
la somme des numéros des pages restantes est (p-10)*129 = 129p-1290 = 258f-1290
la somme des numéros des pages arrachées est 2f²-257f+1290
première inéquation : les numéros de pages arrachées sont au moins celles des premières, de 1 à 10
2f²-257f+1290 >= 55
2f²-257f+1235 >= 0; f <= 5 ou f >= 123,5
deuxième inéquation l: les numéros de pages arrachées sont au plus celles des dernières, de p à p-9: leur somme est 10p-45 = 20f-45
2f²-257f+1290 <= 20f-45
2f²-277f+1335<=0
5 <= f <= 133,5
123,5 <= f <= 133,5
124 <= f <= 133
la somme des numéros de pages arrachées est 10 fois un nombre pair + 55, c'est un nombre impair divisible par 5
seule f = 125  rend 2f²-257f+1290 conforme à cette condition
il y avait 125 feuilles ou 250 pages
la somme des numéros des pages arrachés est 415; les pages arrachées commencent après 36; elles vont de 37 à 46

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Je trouve un livre de 255 pages, avec les pages 99 à 108 arrachées...
ou un livre de 247 pages, avec les pages 1 à 9 arrachées.
Explication demain...je crois avoir trouvé une méthode inventive.

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soit:
n le nombre de pages du livre et x le n° de la première page arrachée
M la moyenne des numéros des n pages
m la moyenne des n° des pages arrachées
m' la moyenne calculée par Post-it
on a la relation nM=(n-10)m'+10m
on en déduit rapidement
(1) n(n-257)=10(2x-249)
c'est de degré 2 en n,la somme des racines est257 donc positive
a)les deux solutions de l'équation sont positives  on peut donc en déduire que 257
d'aprés (1) 2 divise au moins une racine donc est impaire
mais on a aussi: 5 divise au moins l'une des racines donc+7 se termine par 3
=56089+80x>236²
on a donc 236<257
il n'y a que deux valeurs possibles :243 et 253
d'où
n=255 =>x=99 Pos-it a arraché les pages de 99à108  n=250=>x=37 post-it a arraché les pages de 37à46
b)l'équation a des solutions de signes contraires
je laisse tomber pour ce soir
ce n'était pas simple ou bien je suis encore sous l'effet de l'anasthésie?

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en repensant à mes résultats d'hier je me dis qu'il faudrait peut être éliminer  255 si toutes les pages sont numérotées mais peut être que le verso de la dernière feuille est vierge et ne porte pas de n° donc le nombre de pages est impair

un oubli dans le a) peut se terminer par 7 donc il manque
237 comme valeur possible pour cette racine
cette valeur donne n=247 et x=1, post-in a arraché les dix premières pages
il faudrait tout reprendre pour une rédaction moins lourde mais je n'ai pas le temps

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Je reprends ma relation
4x^2-2.257x-40y+2470=0.
En étudiant les restes des divisions de x par 2 et 5, j'arrive à deux cas:
1) x=20k + 1 et y=40k^2-253k+49. En essayant k=1,2,3.. je vois que cela ne marche pas (d'abord y négatif puis y>x).
2) x=20k+5 et y=k(40k-237). Le seul k acceptable est k=6.
J'en déduis que
Le livre neuf avait 250 pages. Post-it a déchiré les pages de 37 à 47

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Je prends note...

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les pages de 37 à 46

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Demeter réfléchit: Combien de feuilles puis-je faucher avec ma faucille?

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Mon épouse (ancienne prof d'histoire) pense que c'est bien une statue de Demeter. Mais elle ressemble beaucoup à celle de la druidesse Velleda qui est dans les jardins du Luxembourg. Il ne reste plus qu'à enlever un l..

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mille excuses!
Après avoir googlisé une controverse avec mon épouse, j'ai constaté que tu nous avais bien présenté une statue de Velleda (par Maindron, 19°siècle) et non pas une Demeter de la période hellénistique.

Merci au passage de titiller notre curiosité sur des sujets divers, en démarrant sur des maths.

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Bonjour à tous !

Si elle avait été postée en officiel, celle-ci, elle aurait fait mal

En fait -comme toujours- je suis parti d'une énigme simple dans laquelle une seule page était déchirée, et j'ai cherché à la complexifier en imposant cependant qu'elle soit réalisable sans trop tâtonner...

comme ça devenait vite complexe, je me suis limité à 10 pages déchirées

En appelant N le nombre total de pages, N >= 1 et p le n° de la première page déchirée :

( N(N+1)/2 - (10p+45) )/(N-10) = 129

N² - 257N + 2490 - 20p = 0

on déduit par suite que :

p = (N²-257N+2490)/20 et comme p > 0 => il faut que N > 246,9

par ailleurs, il faut que p+9 <= N donc que... N²-277N+2670 <= 0 => il faut N <= 267

visuellement, les deux courbes dans le même repère :



il ne faut donc examiner que les valeurs de N dans [ 247 ; 267 ]

Un ptit tableur ou SQN qui fait très bien l'affaire :



et fournit les 5 possibilités suivantes en N , p à p+9

247 pages et pages déchirées de 1 à 10
250 pages et pages déchirées de 37 à 46
255 pages et pages déchirées de 99 à 108
262 pages et pages déchirées de 190 à 199
267 pages et pages déchirées de 258 à 167

pour que ça colle complètement selon les n° de pages déchirées, il faut, selon les livres, que la page 1 soit en recto ou en verso ( je connais votre soif de la rigueur )

Si on ne voulait retenir que les "vrais" livres, ceux avec le 1 en recto, il ne subsisterait, sauf erreur, que les trois premières solutions

Si vous voyez des erreurs, n'hésitez pas à intervenir : j'ai élaborée cette JFF ce matin de bonne heure et la fatigue a pu me jouer des tours

Par ailleurs, il y a sûrement des méthodes d'analyse diophantienne pour éviter le "tâtonnement" dans la recherche de N entre 247 et 267 ; si vous les maîtrisez, n'hésitez pas à les poster

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Au fait, c'était bien la déesse Velleda du sculpteur Maindron, trouvée par rogerd et madame

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flattée par la sculpture mais de toutes façons ce n'est pas moi je n'ai qu'un l
merci pour cet exo intéressant que je reprendrai quand j'aurai terminé mes révisions

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de n²-257n+2490-20p=0 on déduit:
modulo 5 que n²-2n 0 d'où n 0 ou 2
modulo 8 (si on suppose p impair) que n²-n-2 0 soit (n-2)(n+1) 0 d'où n 2 ou 7
on en déduit que les seules valeurs possibles entre 247 et 267 sont 247,250 et 255.
si on accepte les valeurs paires de p il faut raisonner modulo 4 (au lieu de 8) et il y a aussi 262 et 267.