connexité.

Posté par boob boob

Bonjour,
j'aurais besoin de votre aide. Je n'arrive (toujours) pas à acquérir les réflexes en topo, alors j'essaie d'avoir le plus d'exemples possible.

On considère la base canonique de R3 et X={E inclus dans R^3, sev de dimension 2}

Dans un premier temps, je dois montrer que S={(u,v) (²)², linéairement indépendants} est un ouvert connexe de (²)² et que  Pi : S -> X, Pi(u,v)=Vect(u,v) est surjective.

Ensuite il faut montrer que X muni de la topologie quotient de Pi est séparé (il est indiqué qu'on peut considérer l'angle entre deux plans).

Il est indiqué qu'il faut penser au produit vectoriel.

(Je ne sais pas si c'est important à savoir, mais il s'agit de questions d'un exercice de géométrie différentielle, la suite parle de cartes et ça ne me pose pas de problème, je vous en fais donc grâce.)

Merci !

Posté par Camélia Camélia

Bonjour

Désolée, mais je ne crois pas que S soit connexe. En fait, S est l'ensemble des (u,v) rtels que det(u,v)0. L'application det est continue, et il est clair que det(S) a deux composantes connexes. Donc S n'est pas connexe! On ne te disait pas quelque chose (u,v) base orientée de R²?

Posté par boob boob

Ben euh.
J'ai recopié exactement le sujet, donc non, on ne me disait rien...

Posté par Camélia Camélia

Tu es en train de faire un exercice classique sur les grassmanniennes. Ton S est la même chose que GL₂(R) et il n'est pas connexe! Il ne s'agirait pas de plutôt que ?

Posté par boob boob

...
J'ai mis le sujet en attachement.
J'ai vérifié plusieurs fois, si le c'est moi qui lis mal, je vais envisager d'aller me (pendre) coucher.

Posté par boob boob

(je crois que j'ai aussi un problème d'attachement :cry

** image supprimée **

édit Océane : merci de réserver l'attachement d'images aux images et non au texte

Posté par Camélia Camélia

Je vois... Je ne sais que dire... sauf que si tu prends pour S l'ensemble des (u,v) tels que det(u,v)>0, tout devient vrai!

Pour montrer que S est ouvert il suffit de le décrire comme image réciproque par le déterminant d'un ouvert de R. Pour le mien, de S pour montrer qu'il est connexe, je montre qu'il est connexe par arcs en créant un chemin entre (u,v) et la base canonique.