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Somme de polynômes

   
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#msg1893161 Posté le 26-05-08 à 20:23
Posté par Profilinfophile infophile

Bonjour

Citation :
Soit 3$ \rm n+1 réels 3$ \rm t_0,...,t_n deux à deux distincts.

Je dois calculer 3$ \rm \Bigsum_{i=0}^{n}t_i^{n+1}L_i(0) et 3$ \rm \Bigsum_{i=0}^{n}t_i^{n+2}L_i(0) avec 3$ \rm L_i les polynômes de Lagrange.


Un coup d'pouce ?

Merci !
re : Somme de polynômes#msg1893277 Posté le 26-05-08 à 21:01
Posté par ProfilNightmare Nightmare Moderateur

Salut

Les polynômes de Lagrange de quoi?
re : Somme de polynômes#msg1893285 Posté le 26-05-08 à 21:03
Posté par Profilinfophile infophile

Salut

Associés à ces n+1 réels.
re : Somme de polynômes#msg1893297 Posté le 26-05-08 à 21:07
Posté par ProfilNightmare Nightmare Moderateur

D'accord

La première idée pour moi est de considérer 3$\rm P=\Bigprod_{i=0}^{n} (X-t_{i}) et 3$\rm A=X^{n+1}

Le reste de la division de A par P est 3$\rm \Bigsum_{i=0}^{n} t_{i}^{n+1} L_{i} (magie )

Il suffit donc de trouver le reste de la division de A par P !
re : Somme de polynômes#msg1893334 Posté le 26-05-08 à 21:19
Posté par Profilinfophile infophile

Hum 3$ \rm P(X)=A(X).Q(X)+R(X) et puisque 3$ \rm P et 3$ \rm A sont unitaires de même degré on a 3$ \rm Q=1 et donc 3$ \rm R(X)=P(X)-A(X)=\Bigprod_{i=0}^{n}(X-t_i)-X^{n+1}.

Juste ?
re : Somme de polynômes#msg1893338 Posté le 26-05-08 à 21:22
Posté par ProfilNightmare Nightmare Moderateur

Oui

Et donc en zéro ça devient facile !
re : Somme de polynômes#msg1893347 Posté le 26-05-08 à 21:25
Posté par Profilinfophile infophile

On obtient 3$ \rm \Bigsum_{i=0}^{n}t_i^{n+1}L_i(0)=(-1)^{n+1}\Bigprod_{i=0}^{n}t_i

Me reste à voir d'où vient le tour de magie avant de traiter l'autre somme.

re : Somme de polynômes#msg1893349 Posté le 26-05-08 à 21:27
Posté par ProfilNightmare Nightmare Moderateur

Oui, c'est le plus délicat, mais ce n'est pas dur. Si tu as besoin d'un indice n'hésite pas!
re : Somme de polynômes#msg1893363 Posté le 26-05-08 à 21:35
Posté par Profilinfophile infophile

Je vais y réfléchir demain en français, et pour l'autre somme on fait pareil en prenant P le produit jusqu'à n+1 et A le monôme de degré n+2 ?

re : Somme de polynômes#msg1893376 Posté le 26-05-08 à 21:40
Posté par ProfilNightmare Nightmare Moderateur

Non c'est un peu plus délicat, car P va toujours jusqu'à n (sinon on aura un problème de définition des ti !). On prend bien A=Xn+2 cependant. Il y aura un peu plus de travail pour la division.

re : Somme de polynômes#msg1893380 Posté le 26-05-08 à 21:41
Posté par Profilinfophile infophile

Ok je vais essayer de voir ça, j'te remercie !

Je repasse en cas de pépin, bonne soirée !
re : Somme de polynômes#msg1893390 Posté le 26-05-08 à 21:45
Posté par ProfilNightmare Nightmare Moderateur

Je t'en prie
re : Somme de polynômes#msg1896348 Posté le 29-05-08 à 06:37
Posté par Profilinfophile infophile

Un indice ?

re : Somme de polynômes#msg1896388 Posté le 29-05-08 à 11:07
Posté par Profiljeanseb jeanseb

Bonjour Kevin et Jordan

C'est un plaisir de vous voir dialoguer...

Vous êtes vraiment très forts!

re : Somme de polynômes#msg1896395 Posté le 29-05-08 à 11:25
Posté par ProfilNightmare Nightmare Moderateur

Salut jeanseb

Pourquoi tant d'éloge subitement ...
re : Somme de polynômes#msg1896396 Posté le 29-05-08 à 11:27
Posté par Profilrobby3 robby3

Citation :
Vous êtes vraiment très forts!

>c'est ce que je me suis aussi dit en lisant ce topic

Bonne journée à tous!
re : Somme de polynômes#msg1896451 Posté le 29-05-08 à 12:58
Posté par Profilinfophile infophile

Bonjour à tous !

Jord > Pour les 3$ \rm k\in [1,n] j'ai utilisé le fait que tout polynôme 3$ \rm P de degré n peut s'écrire 3$ \rm P(X)=\Bigsum_{i=0}^{n}P(t_i)L_i(X) et en prenant 3$ \rm P(X)=X^k et en évaluant en 0 on trouve une somme nulle.

Il y aurait pas un peu de ça dans ton tour de magie ?

Je file en info..
re : Somme de polynômes#msg1896643 Posté le 29-05-08 à 17:25
Posté par Profilinfophile infophile

Up
re : Somme de polynômes#msg1896940 Posté le 29-05-08 à 20:54
Posté par Profilinfophile infophile

Up bis
re : Somme de polynômes#msg1897323 Posté le 30-05-08 à 06:33
Posté par Profilinfophile infophile

Up pour les matinaux
re : Somme de polynômes#msg1897905 Posté le 30-05-08 à 20:10
Posté par Profilinfophile infophile

Ok c'est bien ce que je pensais, il fallait utiliser la décomposition sur la base des polynômes de Lagrange, mais de P-A.

Bonne soirée
re : Somme de polynômes#msg1898860 Posté le 31-05-08 à 20:16
Posté par Profilinfophile infophile

Juste pour vérifier, Jord, tu trouves comme moi ?

3$ \rm \Bigsum_{i=0}^{n}t_i^{n+2}L_i(0)=(-1)^{n+1}\Bigsum_{j=0}^{n}t_j\prod_{i=0}^{n}t_i

J'ai été un peu bourrin, j'ai appliqué la décomposition au polynôme 3$ \rm A(X)-XP(X)+\(\Bigsum_{j=0}^{n}t_j\)X^{n+1}

Sauf erreur il est de degré au plus n.

re : Somme de polynômes#msg1898926 Posté le 31-05-08 à 20:51
Posté par Profilinfophile infophile

Petite erreur de signe, c'est un - devant la parenthèse.

A+

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