Connexe par arcs

Posté par drums drums

Bonjour,

Je suis en révision pour les oraux des concours et voilà un exercice que j'ai trouvé mais impossible de le résoudre alors si quelqu'un pouvait m'expliquer .

1) Soit A= (a_i,j) avec 1<=i,j<=n qui appartient à GL_n(C) triangulaire supérieure. Construire une application continue f : [0,1]-> GL_n(C) telle que f(0)=I_n et f(1)=A.
Indication : pour n>=j>i>= 1 on pourra paramétrer le segment [a_i,j,0] et pour 1<=i<=n paramétrer [a_i,i,1]
En déduire que GL_n(C) est connexe par arcs.

2) Soient r appartenant à <1, n-1> et C_r={M appartenant à M_n(C)/rg(M)=r}. Montrer que C_r est connexe par arcs.

Posté par Camélia Camélia

Bonjour

1): Pour les termes pas diagonaux, on prend tout bêtement f_ij(t)=ta_ij. le problème est qu'on veut rester dans GL_n, donc que sur la diagonale on ne doit pas prendre la valeur 0. Alors si 0 n'est pas sur le segment [1,a_ij] on prend f_ii(t)=1+(t-1)a_ii. Si 0 est sur le segment en question, il n'est certainement pas sur un demicercle de diamètre [1,a_ii] et alors on prend

2) Dans C, une matrice de rang r est semblable à une matrice triangulaire ayant exactement r termes non nuls sur la diagonale. Montre d'abord qu'une telle triangulaire peut être jointe à la matrice ayant juste r fois 1 sur la diagonale.

Posté par drums drums

1) Vous avez mis le segment [1, a_i,j] mais dans l'énoncé il s'agit d'un 0 à la place du 1. Est-ce que cela change quelque chose ?
Pour la fin de la question, je sais comment montrer que GL_n(C) est connexe par arcs mais je ne vois pas comment le déduire de la question précédente.

2) Pour cette question, j'ai aussi dit que la matrice était semblable à une triangulaire. Mais, je ne vois pas trop comment faire après et j'avoue que l'indication ne m'inspire pas vraiment.

Merci pour votre réponse.

Posté par Camélia Camélia

C'est bien le segment [0,a_ij] que j'ai paramétré pour les termes non diagonaux.



On vient de construire un chemin qui joint tout élément A de GL_n(C) à I. Que veux-tu de plus?

2) Procède comme ci-dessus pour construire une fonction g qui joint une matrice de rang r triangulaire à puis, pour une matrice quelconque A de rang r, tu sais qu'il existe P inversible telle que A=P^-1TP avec T triangulaire de rang r. Il suffit de prendre h(t)=P^-1g(t)P