algèbres et sigma-algèbres

Posté par Anamath Anamath

Bonjour à tous, voici des exercices de théorie de la mesure, sur les sigma-algèbres. Pouvez-vous, s'il vous plaît, m'aider à les résoudre (même si ce n'est qu'une partie d'entre eux)?

1_ vérifier que l'union de deux sigma-algèbres n'est pas forcément une sigma-algèbre. Donner un exemple dans lequel les sigma-algèbres de partitions ont un nombre infinis d'éléments.

2_ Soit M une sigma-algèbre de cardinal infini. Démontrer que qu'elle a un cardinal non numérable.

3_ Soit delta un partition de N. Démontrer que delta est numérable.
Soit Mdelta={E inclus dans N tels que E est union d'éléments de delta}. Démontrer que Mdelta est une sigma-algèbre.
Démontrer que toute sigma-algèbre de N est de la forme Mdelta pour chaque partition de delta.

Merci d'avance pour votre aide!

Posté par otto otto

Bonjour,
qu'as tu fait ?
Il y'a des trucs qui ne sont pas si difficiles, il faut essayer de voir ce qui se passe:

Par exemple dans 2, suppose le contraire, alors sans perte de généralité tu peux dire que le premier élément de la sigma algèbre est {1}, le deuxième est {2} etc.

Vu que tu dois avoir une sigma algèbre, toute union ou intersection de tes éléments est encore dans la sigma algèbre, donc finalement tu as toutes les parties de N dans ta sigma algèbre.
Or l'ensemble des parties de N est indénombrable.

Pour la 3e, tu peux utiliser l'axiome du choix de cette façon:
Soit P={A1,A2,...} une partition de N, alors je peux choisir un élément et un seul dans chacun des An (ce qui revient à trouver une fonction injective de P dans N). Cet élément est dans N.

Si P était indénombrable, alors que pourrait on dire sur N ?

Pour l'exercice 1, il suffit de construire un exemple bidon uniquement pour les besoins de l'exercice.

etc.

Posté par Anamath Anamath

Bonjour, tout d'abord, merci pour votre réponse. J'aimerais avoir plus de précisions:

_ Pour l'exercice 1, justement, mon problème est que je ne trouve pas d'exemple... Si les deux ensembles sont des sigma algèbres, cela veut dire que pour chaque ensemble de l'algèbre, son complémentaire et l'union avec un autre ensemble de l'algèbre sont aussi dans l'algèbre. A l'union, l'ensemble obtenu est pour moi une sigma algèbre puisque chaque élément aura son complémentaire et l'union avec un autre, puisque eux-mêmes sont présents dans les deux sigma algèbres, non? J'espère que je me suis fait comprendre, c'est difficile à écrire!
Pour résumer, je ne suis pas sûre de comprendre ce qu'est une union de deux sigma-algèbres.

_ Pour l'exercice 2, je ne comprends pas, supposant le contraire, comment le premier élément de la sigma algèbre est {1}, le deuxième {2}... Si le cardinal est « dénombrable » (et non « numérable », désolée, je suis en année erasmus et j'en perds mon français/math!!) c'est qu'il existe une bijection avec N mais pas forcément que le permier élément est le nombre {1}, si?

_ Pour l'exercice 3, vous dites que cela revient à trouver une fonction injective de P dans N mais n'est-elle pas dans ce cas bijective. Car d'ailleurs, la définition de dénombrable est trouver « une bijection », n'est-ce pas? D'autre part, les An sont-ils disjoints? Pourquoi une partition de N serait forcément de la forme P={A1,A2,...}.
De plus, je n'arrive pas à vérifier que le complémentaire d'un élément de Mdelta est dans Mdelta. En effet, le complémentaire de l'union d'éléments de delta est l'intersection des complémentaires; de là, je voudrais que cela soit égal à une union d'éléments de delta pour qu'il soit dans Mdelta.

A la question « Si P était indénombrable, alors que pourrait on dire sur N ? » j'ose répondre N serait indénombrable sans aucune certitude mais attendant une réponse!!

Et sinon, en ce qui concerne la troisième partie du troisième exercice, pouvez m'aider?

Encore merci et à bientôt.

Posté par otto otto

Salut,
pour nommer les éléments, on se fiche du nom que tu leur donnes et si le premier s'appelle truc_1, que le deuxieme s'appelle truc_2 etc rien ne t'empeche de lui donner un autre nom. Moi le nom que je lui donne c'est {1} pour ensemble 1, {2} pour ensemble 2 etc.

Mais si tu comprends ma démarche, tu es capable de l'adapter si tu n'es pas convaincue que ce que je dis est vrai dans le cas général (mais c'est vrai ).

Ensuite les éléments d'une partition sont nécessairements disjoints (par définition d'une partition).
Rien n'oblige ma fonction de P dans N d'etre bijective, par exemple si je prend ma partition comme étant A_1= ensemble des nombres impairs
A_2= ensemble des nombres pairs

je peux trouver une fonction injective de P dans N, par exemple
f(A_1)=1
f(A_2)=8

mais je n'atteins que 2 nombres de N et pas N au complet.

En revanche, le fait que les A_i soient disjoints me permet d'affirmer l'existence d'une fonction injective. (prouve le)

Et puisque ma fonction est injective card(X) < card(f(X))
avec une inégalité large.

Notamment X ne peut pas être indénombrable, sinon f(X) le serait et f(X) est un sous ensemble de N.

Posté par Anamath Anamath

Bonjour, merci pour votre réponse. Mais il me reste encore quelques questions:
Pour l'exercice 2, pouvez-vous me dire comment on montre que  l'ensemble des parties de N est indénombrable?
Pour l'exercice 3, pouvez-vous m'aider pour la stabilité (de Mdelta) par passage au complémentaire?
Et dans la troisième partie de l'exercice: « Démontrer que toute sigma-algèbre de N est de la forme Mdelta pour chaque partition de delta. »
A bientôt.

Posté par Anamath Anamath

Bonjour à tous, n'ayant pas de réponse... Je relance d'autres problèmes. Mais c'est avec plaisir que je me ferais aider sur les derniers cités.

Soit (X1, M1, u1) un espace de mesure complet.
Soit g: X1 --> X2 un application, M2={A inclus dans X2:g-1(A) appartient à M1}, u2=u1(g-1(A)). Prouver que (X2, M2, u2) est un espace de mesure complet.
J'ai déjà montré que M2 était une sigma-algèbre, que u2 était une mesure. En ce qui concerne l'espace complet, voici ce à quoi j'ai pensé, donnez-moi s'il vous plaît votre avis:
J'ai considéré le sous-ensemble des ensembles mesurables de mesure nulle:
N' ={S inclus dans X2: il existe N dans M2-u2° avec S inclus dans N}. Je dois donc prouver que N' est inclus dans M2.
« il existe N dans M2-u2° » signifie u2(N)=0
                                             signifie u1(g-1(N))=0
                                             Signifie g-1(N) dans M1u1°
Comme (X1,M1,u1) complet: cela signifie N' dans M2.

J'ai par ailleurs, un autre exercice:
démontrer qu'un algèbre A dans X est une sigma algèbre si et seulement si « si Ei appartient à A, et E1 inclus dans E2 inclus dans, ... , alors l'union infinie des Ei est dans A. »
Ce que je ne comprends pas c'est que pour moi, on définie une sigma algèbre justement en précisant que c'est une algèbre qui a cette dernière propriété. Alors comment faire une démonstration?

Merci!