exercice sur les polynomes

Posté par carl7 carl7

Salut tout le monde.


J'ai du mal avec l'exercice suivant:

Trouver tout les polynomes P de C[X] verifiant:

P(U) inclus dans U avec U={z dans C tels que |z|=1}

Merci

Posté par Camélia Camélia

Bonjour

D'abord c'est clair que c'est vrai pour P(X)=a_{[/sub]Xⁿ si |a[sub]n}|=1 Comme ça au pif, je dirais que ce sont les seuls. En fait, on veut que , alors regarde si ça mène à quelque chose...

Posté par Camélia Camélia

Erreur: avec |a_n|=1

Posté par carl7 carl7

bonjour camélia.

oui effectivement c'est les seuls, mais je n'arrive toujours pas à le démontrer

Posté par jeanseb jeanseb

Bonsoir

Ne serait-ce pas plutôt |an|1 ?

Posté par jeanseb jeanseb

j'ai dit une bêtise...

Posté par carl7 carl7

alors... une idée?

Posté par Pece Pece

Procède par analyse/synthèse, ça devrait venir.

Analyse : Soit tel que .
Soit . Comme l'a dit Camélia : il existe tel que .
En écrivant , on obtient...

A toi la suite et n'oublies pas la synthèse

Posté par carl7 carl7

salut pece.


j'ai exprimé  P(exp(it)) , je suis meme arrivé à avoir un systeme de vandermonde, mais je n'arrive pas a montrer la nullité des coefs de P a part le coef dominant.
j'ai aussi essayer de calculé P*(conjugué de P) mais je n'obtiens rien.
Tu ne pourrais pas detailler plus ta démarche?

Posté par carl7 carl7

alors! aucune idée....??

Posté par Pece Pece

Moi j'avais juste lancé l'idée de l'analyse/synthèse sans trop d'idée derrière la tête.

En revanche, à y réfléchir un petit peu tout à l'heure, j'écrirai plutôt P sous sa forme factorisée :


Avec le coefficient dominant et les les racines dans de P.
Donc

Et ensuite j'essairais de prouvé que tous les sont nuls (par l'absurde ?), mais je n'ai pas d'idée immédiate là...

Posté par otto otto

Bonjour,
soit f(z) un polynôme de degré n vérifiant l'hypothèse.

Soit B le produit de Blashke formé sur les 0 de f:



Considérons g(z)=f(z)/B(z) et appliquons le principe du maximum.

Le résultat en découle.

Posté par otto otto

grrr !!



avec |c|=1.

Posté par otto otto

Encore une erreur, l'indice sur le produit n'est pas le même que la puissance z^k devant le produit...
Décidemment ...

Posté par perroquet perroquet

Bonjour à tous.

Voici une solution demandant moins de connaissances que celle de otto.

On prend donc un polynôme P tel que  P(U) est inclus dans U.
On peut l'écrire sous la forme , avec et non nuls. Supposons n non nul.

On sait que    

Or, on peut écrire:    avec, en particulier,  
Or, la famille   est une famille libre. Donc, en particulier

Il y a contradiction. Et donc  

Posté par otto otto

Moi j'aime bien la solution avec les produits de Blashke. Déformation d'analyse complexe
Mais j'avoue que c'est peut être pas la première chose à laquelle on pense si on ne connait pas ça.