Forum : produit scalaire :
lieu géométrique

Bonjour,

J'ai un problème de géométrie à résoudre et j'aimerais savoir si ma solution est correcte ?
Le problème
Soit ABC un triangle tel que AB=8, AC=5 et BC=6. I est le milieu de [AB].
1. Construire l'ensemble E des points M du plan tels que MA²+MB²=82
2. Choisir k pour que l'ensemble des points M du plan tels que MA²+MB²=k passe par C.
3. Construire l'ensemble des points M du plan tels que 61<MA²+MB²<82
4. On note G_k l'ensemble des points M tels que MA²+MB²-2 MC²= k, où k est un réel donné.
a) Préciser la nature de G_k
b) Choisir k pour que G_k passe par B et construire G_k dans ce cas particulier.
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Pour les questions 1,2 et 3 j'ai utilisé le théorème de la Médiane et tout va bien.
Par contre c'est la question 4 qui me pose des soucis. Voici ci-dessous ce que je pense avoir trouvé et dont j'aimerais avoir confirmation.

4.a) Gk est une droite perpendiculaire à (IC)
En effet,sachant que :
MA²+MB²-2 MC²= k  (1)

D'après le théorème de la médiane on a :
MA²+ MB² = 2 MI²+ AB²/2
d'où (1) devient
2 MI²+ AB²/2 -2 MC²= k  (1)
soit
2 MI²-2 MC² = k - AB²/2
2 (MI²- MC²) = k - AB²/2
MI²- MC² =  k/2 - AB²/4

Soit J le milieu de [IC], toujours d'après le théorème de la médiane :

MI²- MC² = 2 vecteur(MJ) . vecteur(IC)  (produit scalaire)
d'où (1) devient :
2 vecteur(MJ) . vecteur(IC) =  k/2 - AB²/4
vecteur(MJ) . vecteur(IC) =  k/4 - AB²/8

AB = 8 d'où

vecteur(MJ) . vecteur(IC) =  k/4 - 8

Le point M est donc situé sur une droite perpendiculaire à (IC)

4.b) si G_k passe par B, on peut poser M=B dans (1) soit :

vecteur(BJ) . vecteur(IC) =  k/4 - 8

Suis-je sur la bonne voie ?

Merci pour votre aide.

C'est correct, sauf qu'on ne comprend pas bien pourquoi le fait que implique que .

Pour moi, il manque un paragraphe dans ta démonstration.

Pour le 4)b), c'est bon. Ce qu'il faut trouver, c'est k, on est bien d'accord?

4.a) je reprends la question 4.a
pourquoi implique que

Je dirais que comme on peut écrire :


soit

ou encore

soit


Soit H le point de la droite (JC) tel que
vient alors

d'où



Conclusion, G_k est la droite passant par H admettant comme vecteur normal.

4.b) Je reprend la question 4.b)

Je reprends l'expression obtenu en 4.a telle que
(2)

si Gk passe par B, on peut poser M=B dans (2) soit :



Déterminons la valeur de

Et là j'avoue que je bloque un peu, je ne vois pas comment simplement calculez   JH sans faire appel à des calculs et des formules plus  compliquées. Existe-t-il un moyen de calculer JH qui soit évident ?

Parfait pour le 4.a c'est exactement ce qu'il fallait mettre.

Bon ensuite, pour le 4.b, l'expression que tu as trouvée au 4.a n'est pas la meilleure pour répondre à cette question. Utilises en une autre....

J'avoue que je bloque pour trouver une autre méthode pour résoudre cette question. Est-ce que la question 4.a) telle que je l'ai traitée ne permet pas de résoudre 4.b) ?

Non, il faut revenir à l'énoncé: tu as déjà montré que l'énoncé de la question 4) est équivalent à ce que tu as trouvé en a) mais pour faire le b), c'est très long avec la relation du a) et très simple avec l'énoncé.

Quand tu bloques sur un truc comme ça, refais le point sur ce que tu sais: répète le toi dans ta tête et il y a des choses qui arrivent par "réflexe". Regardes ensuite si tu ne peux pas les exploiter. ça s'acquiert avec de l'expérience mais il faut toujours avoir ce mode de pensée à l'esprit.

Si tu veux savoir pourquoi j'ai trouvé la solution, c'est très simple en fait: la relation de 4a) ne donne rien immédiatement.Par expérience, j'ai anticipé sur ce que je devais faire pour y arriver par cette voie, et ça ne me plaisait pas du tout parce que je savais à quoi j'allais avoir à faire!
. Par fainéantise ( et c'est bien la réalité), j'ai relu l'énoncé pour voir si je ne pouvais pas le faire en moins compliqué donc plus rapide, donc plus vite fini!

Je pense avoir trouvé.

D'après la question 2) si M=C

CA²+CB²=61

Dans la question 4.B) on veut que CG_k donc on peut prendre M=C.d'où
CA²+CB²-2 CC²= k
ce qui donne
CA²+CB²=k
Et dans ce cas d'après 2)
k=61

Je viens de tester sous geogebra et cela semble cohérent

Pas d'accord, si M=B,on a

Oui, en effet je ne sais pas trop dans quelle voie je m'étais engagé. Ce n'est pas C qui appartient à Gk mais B !!!
Je reprends donc mon raisonnement avec B.

On sait que Gk correspond à l'ensemble des points M tel que :

MA²+MB²-2 MC²= k

B doit appartenir à Gk soit M=B ce qui nous donne :


BA²+BB²-2 BC²= k
8²+0-2*6²= k
64-72=k
k= -8

Ensuite pour tracer Gk il suffit de tracer la droite perpendiculaire à (IC) passant par B.

Par contre,en reprenant le résultat trouvé en 4.a

je trouve


Alors que sont de sens opposé. Sous geogebra je trouve
Je ne vois pas trop où est mon erreur ?!?!