Forum : étude de fonctions :
Un mélange de limites, de dérivées, de symétries...

Bonjour, voici un exercice de maths de niveau première. J'ai été malade pendant de quelques mois et mon professeur m'a donné cet exercice pour essayé de revenir à un niveau correct. Mais je n'y arrive pas, pourriez-vous m'aider, merci.

Soit f la fonction définie sur R-{2} par : f(x)=(x²+x-2)/(x-2) et (C) sa courbe représentative.

1) Montrer que, pour tout x ≠2 : f(x)=x+3+ 4/(x-2)
2) Calculer les limites de f aux bornes de R-{2}, préciser les éventuelles asymptotes « verticales » et « horizontales ».
3) Calculer la dérivée f' de f et étudier son signe.
4) Dresser le tableau de variation complet de f : préciser la valeur des extrema observés.
5) Soit (D) la droite d'équation y= x+3
        a) Montrer que (D) est asymptote oblique à (C) en + ∞ et en -∞.
        b) Etudier suivant les valeurs de x la position de (C) par rapport à (D).
6) Démontrer que le point Ω d'abscisse 2 de (D) est centre de symétrie de (C).
7) Déterminer une équation de la tangente (T) à (C) au point d'abscisse 1.
8) Tracer (C), (D) et (T) sur le même graphique ainsi que les asymptotes parallèles aux axes et les tangentes horizontales. On prendra comme unité graphique 1cm sur les deux axes.

1)Il suffit de dire que le dénominateur ne doit pas être nul

1) non dsl, il manque des parenthése ?

Calcul x+3+ (4/(x-2)) met au même dénominateur puis retrouve f(x).

Ah oui d'accord j'ai essayer de faire l'inverse mais je ne trouvé pas, je vais essayer de votre manière.

Je viens de trouver , mais je ne comprend pas la question 2) même avec le cours d'un ami.

Donne moi l'ensemble de définition en intervalles, puis donnes moi les limites à calculer.

Euh je crains ne pas vous avoir compris.
Mais pour l'ensemble de défintion: ]-∞;2[U]2;+∞[
Euh il faut calculer les limites en -∞, en +∞ et en 2.
C'est ca?

2) Df = R \ {2} = ]-;2[ U ]2;+[
Exacte en + et - l'infini il y à un théorème dit du plus haut degrès
Tu as oublier en 2 - et en 2 +, par quotient de limites.

Donc je dois faire
lim (x²+x-2)/(x-2)
-∞

lim (x²+x-2)/(x-2)
+∞

lim (x²+x-2)/(x-2)
2-

lim (x²+x-2)/(x-2)
2+

Mais je n'ai encore presque jamais fait de limites, je ne comprends pas la méthode.

non pour le plus haut degrès ça commence comme sa, mais pour le 2- et 2+ on sépare le numérateur et dénominateur on calcul leur limites séparément puis l'on fait une accolade et l'on fait un quotient de limites

Je suis désolé mais je ne comprend pas ..

D'après le plus haut degrès:

De même pour - l'infini, puis pour 2- et 2+ il suffit de faire la limite du numérateur quans x tend vers 2 et de même pour le dénominateur puis par quotient de limites tu conclues lim f(x) quand x tend vers 2- puis de même pour 2+.

Euh je vien de le faire mais dans le cours de mon ami, il y a écrit que ∞/∞ est une forme indeterminé
Mais je pense avoir saici ce qu'il faut faire. Mon problème c'est pour les limites en 2, je n'ai aucunes infromations dans mons a ce sujet.

Ou voit tu ∞/∞ içi ?

lim x²= +infinie
lim x= +infinie
lim x²/x= infinie/infinie= forme indeterminé

non la limite de x²/x = lim x X x /x = lim x

Ah daccord, j'ai compris.
Mais pour -2 et +2 je ne sais pas le faire.

tu fais la lim du numérateur puis du dénominateur en 2- pour commencer puis du dénominateur.

lim (x²+x-2) = 2²+2-2=4
2

lim (x-2) = 0
2

Oui donc par quotient lim f(x) = ?

+infinie

mais on ne doit pas faire en 2- et en 2+

non car en 2- lim (x-2) = 0-

bah ca fé - infinie

Donc en 2-: Tu fais pareil pour 2+.

Oui sayé ca commence à rentrer merci

Régle des signes entre 4 et 0- ( + sur - = -)

Et comment on trouve les asymptotes? s'il vous plait (biensur)

Vu que lim f(x) = - quand x tend vers 2-
Vu que lim f(x) = + quand x tend vers 2+ ( A bien rédiger)
Donc on en déduit une asymptote à Cf en + et - [smb]infini[/smb verticale d'équation x = 2

ah oui je l'ai fait avec ma calculette, mais je ne savais pas comment calculer, Merci
Je suis en train de calculer la dérivé. Pourriez-vous attendre quelques minutes SVP

Euh comme dérivé je trouve: (x²-6x+4)/(x-2)²

c'est ca?

Erreur de dévellopement !

ah oui je trouve maintenant:  (x²-4x)/(x-2)²

Oui juste, tu as bien mis la formule ?

Merci, dans la consigne il ya écrit étudier le signe, ça veut dire qu'il faut que je fasse un tableau et dire quand f est croissant et décroissant?

Oui f fonction croissanteee ou décroissanteee
Il faut pour cela factoriser le numérateur par x, puis faire un tableau de signe de la dérivé.

daccord je vais le faire

donc f'= x(x-4)/(x-2)²

Oui

et le tableau ca me fait:   -∞    0    2   4    +∞
                          x    -  0  +   +    +
                        x-4    -     -   - 0  -
                     (x-2)²    +     + 0 +    +
                         f'    +  0  - ! - 0  +

c'est ca?

Non 4 après s'être annuler à droite est du signe de a

a oui j'ai vu mon erreur
mais pour f' c'est ca.  Donc je dois dire que sur ]-infinie;0[ f' est décroissante et l'inverse pour  ]0;2[ et ]2;4[

et sur ]4;+infinie[ f' est croissante

nn recrer une colonne avec f(x) et des fléches pour les variations et completer avant et après toutes !! les fléches. Ne pas oublier la double barre 2 est valeur interdite.

Mais la colonne avec f(x) c'est dans la question 4, non?