Exo défi : somme des diviseurs

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 Exo défi : somme des diviseurs Posté le 28-05-08 à 19:06
Posté par gui_tou gui_tou

Bonjour à tous 

Un petit exo sympa, abordable à partir de la terminale.

Citation :
On note  la somme des diviseurs de . Montrez que 

Bonne réflexion 
 Exo défi : somme des diviseurs Posté le 29-05-08 à 13:01
Posté par ThierryMasula ThierryMasula

Bonjour gui_tou,

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La constante d'Euler n'apparaît pas dans la formule...

C'est pour éviter de donner la voie à suivre ?

Je crois pouvoir faire le démo pour n premier.
 re : Exo défi : somme des diviseurs Posté le 29-05-08 à 19:33
Posté par gui_tou gui_tou

Bonjour ThierryMasula,

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Non la constante d'Euler n'apparaît pas. La démonstration est, somme toute, assez élémentaire.

Se demander d'où provient le  peut mettre sur la piste.

 re : Exo défi : somme des diviseurs Posté le 29-05-08 à 20:51
Posté par gui_tou gui_tou

mini-up 
 re : Exo défi : somme des diviseurs Posté le 29-05-08 à 23:33
Posté par Fractal Fractal

Bonsoir 

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D'où 

Bon, d'accord, je suis pas en Terminale... 

Fractal 
 re : Exo défi : somme des diviseurs Posté le 30-05-08 à 19:42
Posté par gui_tou gui_tou

Saloute 

Fractal >

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 Tu m'épateras toujours ! 

Pour info, c'est tiré d'un oral d'ENS Lyon 
 re : Exo défi : somme des diviseurs Posté le 30-05-08 à 21:55
Posté par Fractal Fractal

gui_tou ->
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Nan, c'est vrai?

C'est pas bien difficile pourtant, et assez classique ('fin, il me semble ^^)

Fractal 
 re : Exo défi : somme des diviseurs Posté le 03-06-08 à 19:52
Posté par gui_tou gui_tou

Guigui >

Ayé j'ai retrouvé l'exercice suivant 

Pour ceux qui sont en avance  :

Citation :
Résoudre dans  : 

Bonne réflexion 
 re : Exo défi : somme des diviseurs Posté le 03-06-08 à 20:42
Posté par fusionfroide fusionfroide

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hé ! on ne lit pas les blanqués !
 re : Exo défi : somme des diviseurs Posté le 03-06-08 à 20:42
Posté par fusionfroide fusionfroide

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Qu'est-ce que je viens de dire ?!
 Exo défi : somme de diviseurs Posté le 04-06-08 à 18:27
Posté par carpediem carpediem

3s(n)=4n-17  3[s(n)+3]=4(n-2]

or pgcd(3,4)=1 donc n2[3] et s(n)1[4]

ensuite un petit programme permet de répondre à la question

on peur remarquer qu'aucun nb premie n'est solution (car s(n)=n+1 qui est pair)

ce me semblet-t-il...

dsl je ne sais pas blanquer (parfois blaguer suelement...)
 re : Exo défi : somme des diviseurs Posté le 04-06-08 à 18:59
Posté par gui_tou gui_tou

salut carpediem

pour blanquer il suffit de mettre le message entre les balises [bIank]**message**[/blank] 

carpediem >>

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Bonne analyse pour les 2 premières lignes 

Citation :
ensuite un petit programme permet de répondre à la question

Le programme teste des valeurs données, si ça se trouve un nombre à 200 chiffres vérifie l'égalité. L'informatique ne prouve rien 

La question sèche est assez vache, je donnerai un indice demain 
 Exo défi : somme de diviseurs Posté le 04-06-08 à 19:43
Posté par carpediem carpediem

salut gui_tou

et merci pour le mode d'emploi

l'informatique a permis de prouver le théorème des 4 couleurs !!

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içi comme je bloque (j'ai décidé de blanquer pour changer !!) je proposais l'info pour savoir si il existait effectivement une solution (raisonnable de plus (dans le sens pas trop grande))

j'aime bien l'arithmétique donc je vais continuer à voir ce que je peut trouver (avec de petits outils)
 re : Exo défi : somme des diviseurs Posté le 04-06-08 à 20:02
Posté par gui_tou gui_tou

Merci de t'intéresser à cet exo 

Promis, demain : un nain dix 
 re : Exo défi : somme des diviseurs Posté le 04-06-08 à 20:21
Posté par infophile infophile

Bonsoir 

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Je connais un résultat sympa si on décompose n en produit de nombre premiers, ça l'utilise ? 
 re : Exo défi : somme des diviseurs Posté le 04-06-08 à 20:26
Posté par gui_tou gui_tou

kéké >

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Pas l'exo 1) mais l'exo 2 oui ça peut être intéressant 
 re : Exo défi : somme des diviseurs Posté le 04-06-08 à 20:43
Posté par infophile infophile

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Ben v'oui j'parlais de l'exo 2, le 1 Fractal n'en a fait qu'une bouchée 

Je regarde plus tard j'ai de la cristalo à faire 

Sinon la formule c'est que 
 re : Exo défi : somme des diviseurs Posté le 04-06-08 à 23:17
Posté par Fractal Fractal

Re 

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L'équation à résoudre est 

On remarque tout d'abord que  est impair.

En décomposant n en facteurs premiers : , puisque sigma est multiplicative on a 

Ce produit est congru à 1 modulo 2, donc puisque tous les pi sont impairs on a  ce qui implique que tous les  sont pairs.

Ainsi on a soit , soit  pour un certain m.

Or, l'équation de départ réduite modulo 3 nous dit que n est congru à 2 modulo 3 donc le premier cas est exclu car un carré ne peut pas être congru à 2 modulo 3.

D'où 

L'équation de départ devient maintenant .

Or 2m² et m² divisent tous deux 2m², donc , ce qui implique que  : absurde.

Il n'y a donc pas de solution.

Solution de Samuel et moi 

En fait la seule chose à montrer est que n est pair, et que par conséquent n et n/2 le divisent ce qui fait que le terme de gauche devient trop grand.

Ici on montre d'abord que c'est soit un carré soit le double d'un carré, ce qui est dû au fait que la somme de ses diviseurs soit impaire, et le fait qu'il soit congru à 2 modulo 3 montre ensuite qu'il ne peut être un carré, c'est donc le double d'un carré qui est bien pair.

Fractal 
 re : Exo défi : somme des diviseurs Posté le 05-06-08 à 00:30
Posté par Fractal Fractal

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En tous cas c'était joli comme exo, merci 

Fractal 
 re : Exo défi : somme des diviseurs Posté le 06-06-08 à 20:00
Posté par gui_tou gui_tou

Fractal >

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 Eblouissant ! Tatoubon  (Samuel, un copain de classe ?)

Rappel :
Citation :

Exercice 2

Résoudre dans  : 

Indice :
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 re : Exo défi : somme des diviseurs Posté le 06-06-08 à 20:06
Posté par simon92 simon92

gui_tou>>  Cliquez pour afficher
Samuel, je crois qu'il l'a rencontrer aux OIM^^ c'est musichien sur pas mal de forums je suis quasi sur 
 re : Exo défi : somme des diviseurs Posté le 06-06-08 à 20:22
Posté par infophile infophile

Oui samuel = musichien 
 re : Exo défi : somme des diviseurs Posté le 06-06-08 à 20:39
Posté par Fractal Fractal

Voui, je confirme ce que disent Simon et Kévin, et vu qu'on est dans la même classe c'est aussi un copain de classe ^^

Fractal 
 re : Exo défi : somme des diviseurs Posté le 06-06-08 à 21:14
Posté par simon92 simon92

Salut fractal au fait 

(et bravo )
 re : Exo défi : somme des diviseurs Posté le 06-06-08 à 21:18
Posté par gui_tou gui_tou

Déjà que tout seul guigui est épatant, alors avec un acolyte ... 
 re : Exo défi : somme des diviseurs Posté le 06-06-08 à 21:30
Posté par Fractal Fractal

Mais je suis nul en arithmétique, fallait bien que je me fasse aider par quelqu'un qui y connait quelque chose 

Fractal 
 re : Exo défi : somme des diviseurs Posté le 06-06-08 à 22:03
Posté par infophile infophile

Le "nul" est relatif, ça t'a fait gagner le CG non ? 
 re : Exo défi : somme des diviseurs Posté le 06-06-08 à 22:07
Posté par gui_tou gui_tou

 re : Exo défi : somme des diviseurs Posté le 06-06-08 à 22:11
Posté par Fractal Fractal

Euh, j'avais pas fait grand chose en arithmétique, même pas la moitié, c'est le reste qui m'a fait gagner des points, pas l'arithmétique 

Fractal 
 re : Exo défi : somme des diviseurs Posté le 06-06-08 à 22:22
Posté par infophile infophile

Ah oui les fonctions Tn bizarres là 
  re : Exo défi : somme des diviseurs Posté le 15-06-08 à 12:31
Posté par gui_tou gui_tou

Bonjour 

Proposition de correction :

Citation :
On note  la somme des diviseurs de . Montrez que 

Cf le blanqué de Fractal, posté le 29/05/2008 à 23:33 

Citation :
Résoudre dans  : 

La aussi, on peut regarder le blanqué de Fractal (et Samuel) du 04/06/2008 à 23:17 (vous êtes kro forts, zavez utilisé toutes les stûûces de la correction ! )

 Cliquez pour afficher
D'abord, je vais démontrer l'indice : 

L'équivalence est triviale pour . Soit donc un entier .

On peut l'écrire sous la forme  où les  sont des nombres premiers impairs deux à deux distincts, et où les  sont dans , mais  peut être nul)

La somme des diviseurs de  a la même parité que la somme des diviseurs impairs de , c'est-à-dire le nombre de diviseurs impairs de . Ceux-ci sont de la forme  avec pour tout i, .

Il y en a donc .

Il en résulte donc que  est impair  tous les  sont pairs.

Supposons qu'il existe  solution de l'équation . On peut donc écrire  avec  impair.

Si  alors  est diviseur de . On a alors . Mais dans ce cas .

On a donc  et . Si on passe modulo 3, on obtient . or  est congru à 0 ou 1 modulo 3 (en effet 2 n'est pas un carré modulo 3).

Donc l'équation proposée n'a pas de solution.

Bien sûr je n'aurais jamais trouvé cette solution tout seul, mais l'exo me semblait sympa à poster
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