Diagonalisation
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Diagonalisation
Posté le 28-05-08 à 19:12
Posté par 
monrow monrow 
Bonjour !
Bon voilà j'ai commencé un problème et je bloque à la première question
Soit J la matrice carré d'ordre n dont tous les coefficients sont 1.
1- J est-elle diagonalisable?
2- Calculer J², et en déduire les 2 vap de J
Je sais que ça va être stupide comme question mais bon
J'ai pas voulu aller chercher le polynôme caractéristique à cause de la question 2 qui vient après 
Merci
monrow monrow Bonjour !
Bon voilà j'ai commencé un problème et je bloque à la première question
Soit J la matrice carré d'ordre n dont tous les coefficients sont 1.
1- J est-elle diagonalisable?
2- Calculer J², et en déduire les 2 vap de J
Je sais que ça va être stupide comme question mais bon
J'ai pas voulu aller chercher le polynôme caractéristique à cause de la question 2 qui vient après Merci
Diagonalisation Posté le 28-05-08 à 19:47
Posté le 28-05-08 à 19:47Posté par raymond raymond 
Bonsoir.
1°) J étant symétrique réelle, elle est diagonalisable.
2°) On trouve aisément J² = n.J.
Ceci prouve que le polynôme p(X) = X² - nX est annulé par J
p(X) = X(X - n).
Comme J est ni nulle, ni égale à n.I, p(X) est le polynôme minimal de J.
Donc, Sp(J) = {0,n}
raymond raymond Bonsoir.
1°) J étant symétrique réelle, elle est diagonalisable.
2°) On trouve aisément J² = n.J.
Ceci prouve que le polynôme p(X) = X² - nX est annulé par J
p(X) = X(X - n).
Comme J est ni nulle, ni égale à n.I, p(X) est le polynôme minimal de J.
Donc, Sp(J) = {0,n}
re : Diagonalisation Posté le 28-05-08 à 19:50
Posté le 28-05-08 à 19:50Posté par monrow monrow
Salut Raymond !
Ah voilà pourquoi ! On n'a pas ces propriétés sur le cours et on n'a pas encore fait les polynômes minimaux! Sinon pourquoi une matrice symétrique réelle est toujours diagonalisable?
Merci
monrow monrow Salut Raymond !
Ah voilà pourquoi ! On n'a pas ces propriétés sur le cours et on n'a pas encore fait les polynômes minimaux! Sinon pourquoi une matrice symétrique réelle est toujours diagonalisable?
Merci
re : Diagonalisation Posté le 28-05-08 à 19:55
Posté le 28-05-08 à 19:55Posté par Nightmare Nightmare 
Salut
On peut construire en utilisant la forme quadratique associée à M, matrice symétrique réelle, une base de vecteurs propres ce qui montre que M est diagonalisable.
Nightmare Nightmare Salut
On peut construire en utilisant la forme quadratique associée à M, matrice symétrique réelle, une base de vecteurs propres ce qui montre que M est diagonalisable.
re : Diagonalisation Posté le 28-05-08 à 19:57
Posté le 28-05-08 à 19:57Posté par raymond raymond
C'est un théorème classique de spé qui ne se démontre pas en deux lignes !
Si tu n'as pas vu le polynôme minimal :
Soit a une valeur propre, X un vecteur propre associé. Donc, JX = aX
En cherchant l'image des deux membres par J :
J²X = aJX
naX = a²X
a(n-a)X = 0
raymond raymond C'est un théorème classique de spé qui ne se démontre pas en deux lignes !
Si tu n'as pas vu le polynôme minimal :
Soit a une valeur propre, X un vecteur propre associé. Donc, JX = aX
En cherchant l'image des deux membres par J :
J²X = aJX
naX = a²X
a(n-a)X = 0
re : Diagonalisation Posté le 28-05-08 à 20:14
Posté le 28-05-08 à 20:14Posté par monrow monrow
Ah ok ! Merci infiniment Raymond !
Jord>> je méditerai bien ça une fois que j'ai abordé les formes quadratiques dans 1 moi je pense !
Merci
monrow monrow Ah ok ! Merci infiniment Raymond !
Jord>> je méditerai bien ça une fois que j'ai abordé les formes quadratiques dans 1 moi je pense !
Merci re : Diagonalisation Posté le 28-05-08 à 20:33
Posté le 28-05-08 à 20:33Posté par Arkhnor Arkhnor
Bonjour.
Petite question subsidiaire, histoire de
Déterminer la multiplicité algébrique de chaque valeur propre.
Arkhnor ArkhnorBonjour.
Petite question subsidiaire, histoire de
Déterminer la multiplicité algébrique de chaque valeur propre.
re : Diagonalisation Posté le 28-05-08 à 20:53
Posté le 28-05-08 à 20:53Posté par raymond raymond
Le rang de J est 1, donc, 0 est valeur propre d'ordre n-1 (la diagonalisabilité entraine que la dimension de chaque sev propre est égal à la multiplicité de la valeur propre). Finalement, n est valeur propre d'ordre 1.
raymond raymond Le rang de J est 1, donc, 0 est valeur propre d'ordre n-1 (la diagonalisabilité entraine que la dimension de chaque sev propre est égal à la multiplicité de la valeur propre). Finalement, n est valeur propre d'ordre 1.
re : Diagonalisation Posté le 28-05-08 à 21:14
Posté le 28-05-08 à 21:14Posté par monrow monrow
Arkhnor>> Toutes deux sont de multiplicité 1 non,
Sinon voilà la suite :
2) Soit
la matrice dont les éléments diagonaux sont tous égaux à 1, les autres étant égaux à a.
a. Utiliser une base de)
formée de vecteurs propres de J pour déterminer les deux valeurs propres de .
monrow monrow Arkhnor>> Toutes deux sont de multiplicité 1 non,
Sinon voilà la suite :
2) Soit
a. Utiliser une base de
re : Diagonalisation Posté le 28-05-08 à 21:17
Posté le 28-05-08 à 21:17Posté par monrow monrow
j'ai oublié, j'ai trouvé la forme des vecteurs propres :
(1,0,....,-1) (0,1,...,-1) ... (0,...,1,-1) et il me reste une base du SEP associé à n
monrow monrow j'ai oublié, j'ai trouvé la forme des vecteurs propres :
(1,0,....,-1) (0,1,...,-1) ... (0,...,1,-1) et il me reste une base du SEP associé à n
re : Diagonalisation Posté le 28-05-08 à 23:20
Posté le 28-05-08 à 23:20Posté par raymond raymond
Pour J, un vecteur propre associé à la valeur propre n est en = (1,1,...,1)
effectivement, pour la valeur propre 0, on a pour vecteurs propres :
e1 = (1,0,0,...,0,-1)
e2 = (0,1,0,...,0,-1)
.
.
en-1 = (0,0,...,1,-1)
Pour Ma, calcule Ma.tei, 1 < i < n.
Sinon, autre méthode :
Ma = a.J - (a-1).I
Si X est vecteur propre associé à la valeur propre k pour Ma, alors :
Ma.X = k.X <=> a.J.X - (a-1).I.X = k.X <=> a.J.X = [k+a-1].X
Si a = 0, résultat évident.
Si a non nul,
Ceci signifie que X est vecteur propre pour J, donc deux possibilités :
ou 
Cela donne finalement :
k = 1-a (ordre n-1) ou k = (n-1)a + 1 (ordre 1)
raymond raymond Pour J, un vecteur propre associé à la valeur propre n est en = (1,1,...,1)
effectivement, pour la valeur propre 0, on a pour vecteurs propres :
e1 = (1,0,0,...,0,-1)
e2 = (0,1,0,...,0,-1)
.
.
en-1 = (0,0,...,1,-1)
Pour Ma, calcule Ma.tei, 1 < i < n.
Sinon, autre méthode :
Ma = a.J - (a-1).I
Si X est vecteur propre associé à la valeur propre k pour Ma, alors :
Ma.X = k.X <=> a.J.X - (a-1).I.X = k.X <=> a.J.X = [k+a-1].X
Si a = 0, résultat évident.
Si a non nul,
Ceci signifie que X est vecteur propre pour J, donc deux possibilités :
Cela donne finalement :
k = 1-a (ordre n-1) ou k = (n-1)a + 1 (ordre 1)
re : Diagonalisation Posté le 28-05-08 à 23:22
Posté le 28-05-08 à 23:22Posté par disdrometre disdrometre
Tu peux essayer de calculer MaV
où V est un vecteur de J
tu monteras que V est aussi un vecteur propre Ma et tu déduiras les valeurs propres de Ma.
disdrometre disdrometreTu peux essayer de calculer MaV
où V est un vecteur de J
tu monteras que V est aussi un vecteur propre Ma et tu déduiras les valeurs propres de Ma.
re : Diagonalisation Posté le 31-05-08 à 15:52
Posté le 31-05-08 à 15:52Posté par monrow monrow
Re !
je termine alors
A est inversible ssi 0 n'est pas vap ce qui permet de conclure
On a:
donc: =0 \Right \Bigsum_{k=1}^n\lambda_k (u_k|u_j)=0\Right \Bigsum_{k=1\\k\neq j}^n\lambda_k\theta + \lambda_j=0)
ce qui implique directement que =0)
Pour ces valeurs de theta, M est inversible. On a montré que cela implique directement que les lambdas sont nuls et donc la famille est libre. Ainsi 
Bon en utilisant l'inégalité de CS, on a^2\le ||u_i||^2||u_j||^2)
donc 
. Ainsi on 
si la famille )
est liée et de mêmes sens ! ainsi puisqu'ils sont normés 
. ainsi n=1.
Puisque cette famille est clairement liée,
donc 
Puisque
donc cette famille et libre, de plus son cardinal permet de conclure que c'est une base.
là je bloque surtout que la base qu'on vient de montrer n'est pas orthonormale...
Merci
monrow monrow Re !
je termine alors
Citation :
b) En déduire que A est inversible ssi
et 
b) En déduire que A est inversible ssi
A est inversible ssi 0 n'est pas vap ce qui permet de conclure
Citation :
On suppose qu'on a une famille normale qui vérifie =\theta)
pour 
. On travaille dans 
Soit
des réels tels que .
a) Montrer que
On suppose qu'on a une famille
Soit
a) Montrer que
On a:
Citation :
En déduire la valeur maximale de n lorsque
En déduire la valeur maximale de n lorsque
Pour ces valeurs de theta, M est inversible. On a montré que
Citation :
2) Etude du cas. Montrer que n=1
2) Etude du cas
Bon en utilisant l'inégalité de CS, on a
Citation :
3) Dans cette question on admet qu'il existe une famille)
solution du problème.
a- Donner la valeur de
3) Dans cette question on admet qu'il existe une famille
a- Donner la valeur de
Puisque cette famille est clairement liée,
Citation :
Montrer que)
est une base de 
Montrer que
Puisque
Citation :
Calculer les coordonnées de
dans cette base
Calculer les coordonnées de
là je bloque surtout que la base qu'on vient de montrer n'est pas orthonormale...
Merci
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