Exo défi > Matrice réelle, similitude
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Exo défi > Matrice réelle, similitude
Posté le 28-05-08 à 19:59
Posté par 
Nightmare Nightmare 
Bonsoir à tous
Un exercice que j'ai fait aujourd'hui et que j'ai trouvé très intéressant :
Bon courage
Nightmare Nightmare Bonsoir à tous
Un exercice que j'ai fait aujourd'hui et que j'ai trouvé très intéressant :
Citation :
Montrer que toute matrice réelle est semblable à sa transposée
Montrer que toute matrice réelle est semblable à sa transposée
Bon courage
) tel que : A= PDP-1, puis A = (PtP)tA(PtP)
GLn(
(n)) qui converge vers Q.
(n)-1) -> Q'.
p 
, 
donne: Q.Q'=In, ie Q'= Q-1.re : Exo défi > Matrice réelle, similitude Posté le 05-06-08 à 16:44
Posté le 05-06-08 à 16:44Posté par hatimy hatimy
petit détail j'ai oublié un exposant -1 dans mes premières lignes :
A=(PtP)tA(PtP)-1
hatimy hatimypetit détail j'ai oublié un exposant -1 dans mes premières lignes :
A=(PtP)tA(PtP)-1
bravore : Exo défi > Matrice réelle, similitude Posté le 10-06-08 à 19:30
Posté le 10-06-08 à 19:30Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1
Moi? Aimer déterrer?
Jordan >>
Cliquez pour afficher
Euh, du coup, ça reste vrai quelque soit le corps k considéré.
1 Schumi 1 1 Schumi 1Moi? Aimer déterrer?
Jordan >>
Cliquez pour afficher
), on constate que, quitte à permuter certains blocs, la réduction de Jordan des 2 sont les mêmes. Donc A et tA sont semblables en tant que matrices de Mn(C) et donc de Mn(R).
Euh, du coup, ça reste vrai quelque soit le corps k considéré.
re : Exo défi > Matrice réelle, similitude Posté le 10-06-08 à 19:38
Posté le 10-06-08 à 19:38Posté par Nightmare Nightmare
C'est bien ça bien joué !
D'ailleurs ta remarque me fait penser à quelque chose.
On remarque que deux matrices semblables sur C sont semblables sur R.
Est-ce que toutes matrices semblables sur un corps quelconques sont semblables sur un sous-corps de ce dernier? Si oui, comment le prouve-t-on ? Si non, quelle condition doit-on ajouter pour que ce soit vrai?
Nightmare Nightmare C'est bien ça
bien joué !D'ailleurs ta remarque me fait penser à quelque chose.
On remarque que deux matrices semblables sur C sont semblables sur R.
Est-ce que toutes matrices semblables sur un corps quelconques sont semblables sur un sous-corps de ce dernier? Si oui, comment le prouve-t-on ? Si non, quelle condition doit-on ajouter pour que ce soit vrai?
re : Exo défi > Matrice réelle, similitude Posté le 10-06-08 à 19:43
Posté le 10-06-08 à 19:43Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1
Salut Jord,
C'est toujours vrai il me semble. Dans le cas des corps finis, ça fait appel à des notions de réduction que je ne maîtrise pas (invariants de similitudes). C'est mon prof qui me l'a dit. Par contre, dans le cas des corps infinis, je me rappelle l'avoir déjà traité. Tout repose sur le fait que le rang d'une matrice ne dépend pas du corps de base. Si je la retrouve, je la remets.
1 Schumi 1 1 Schumi 1Salut Jord,
C'est toujours vrai il me semble. Dans le cas des corps finis, ça fait appel à des notions de réduction que je ne maîtrise pas (invariants de similitudes). C'est mon prof qui me l'a dit. Par contre, dans le cas des corps infinis, je me rappelle l'avoir déjà traité. Tout repose sur le fait que le rang d'une matrice ne dépend pas du corps de base. Si je la retrouve, je la remets.
re : Exo défi > Matrice réelle, similitude Posté le 11-06-08 à 14:27
Posté le 11-06-08 à 14:27Posté par Camélia Camélia 
Rebonjour à tous.
C'est vrai que si deux matrices à coefficients dans un corps K sont semblables dans un sur-corps L alors elles sont semblables dans K. La première idée qui me vient est aussi à base d'invariants, mais je vais regarder si je trouve plus simple...
Camélia Camélia Rebonjour à tous.
C'est vrai que si deux matrices à coefficients dans un corps K sont semblables dans un sur-corps L alors elles sont semblables dans K. La première idée qui me vient est aussi à base d'invariants, mais je vais regarder si je trouve plus simple...
re : Exo défi > Matrice réelle, similitude Posté le 11-06-08 à 19:40
Posté le 11-06-08 à 19:40Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1
Bon, je retrouve plus la démo initiale. Tant pis, en voici une autre plus "naturelle".
Proposition: Soient k et K deux corps infini avec
et A,B deux matrices de )
. On suppose que A et B sont semblables dans )
. Alors elles sont semblables dans .
Il existe donc)
telles que 
.
On considère le plus petit sur-corps de k contenant P. A priori K n'est pas de dimension finie en tant que k-ev. On s'en sort en considérant le sous groupe additif F de (K,+) constitué de k auquel on ajoute tous les coef de la matrice de P (on se débrouille pour bien avoir un sous-groupe évidemment...). F est lui de dimension finie en tant que k-ev (de dimension au plus n²).
On en prend donc une base)
. En décomposant P dans cette base (oula c'est pas rigoureux, je sais, mais c'est ce qu'on fait dans le cas R/C) on a l'existence de p matrices 
,...,
telles que:
et \neq 0)
(*).
Il nous reste donc à montrer qu'il existe\in k^p)
tel que 
soit inversible.
On avait remarqué dans le cas réel/complexe qu'il existait x réel tel que det(P_1+xP2) était non nul. Ici c'est exactement la même chose:
On considère)
. Il s'agit d'un polynôme à p indéterminées à coefficients dans k (ie, un élément de ![\rm k[X_1,...,X_p]](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?\rm k[X_1,...,X_p])
). Il est non nul d'après (*). Et on montra facilement (par récurrence par exemple...) le lemme suivant:
Sur un corps infini E, si un polynôme P de![\rm E[X_1,...,X_n]](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?\rm E[X_1,...,X_n])
est non nul alors il existe \in E^n)
tel que \neq 0)
.
Ce qui permet de conclure.
1 Schumi 1 1 Schumi 1Bon, je retrouve plus la démo initiale. Tant pis, en voici une autre plus "naturelle".
Proposition: Soient k et K deux corps infini avec
Il existe donc
On considère le plus petit sur-corps de k contenant P. A priori K n'est pas de dimension finie en tant que k-ev. On s'en sort en considérant le sous groupe additif F de (K,+) constitué de k auquel on ajoute tous les coef de la matrice de P (on se débrouille pour bien avoir un sous-groupe évidemment...). F est lui de dimension finie en tant que k-ev (de dimension au plus n²).
On en prend donc une base
Il nous reste donc à montrer qu'il existe
On avait remarqué dans le cas réel/complexe qu'il existait x réel tel que det(P_1+xP2) était non nul. Ici c'est exactement la même chose:
On considère
Sur un corps infini E, si un polynôme P de
Ce qui permet de conclure.
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