Forum : dérivation :
DM niveau fin de première

Bonjour à tous,

J'ai un DM à rendre samedi, et je bloque sur l'une des premières questions :

On considère la fonction F définie sur D = ]-,0[U]0,+[ par :

              

Déterminer F', fonction dérivée de F, et vérifer que pour tout xD, on a bien

              

Une petite aide serait la bienvenue, c'est la dernière note du trimestre, coefficient 4   O_o

Bonsoir,

Que trouves-tu comme fonction dérivée ?

Je trouve

Je suis pas trop sûr, et de toutes façons à partir de là je n'arrive pas à trouver la forme donnée plus loin dans l'énoncé

bonsoir

F est dérivable sur D et:

F'(x)=-1/2-2(-2/x^3)
     =(8-x^3)/2x^3

d'autre part
(2-x)(x²+2x+4)=2x²+4x+8-x^3-2x²-4x
              =8-x^3
donc
F'(x)=(2-x)(x²+2x+4)/2x^3

Tu peux remarquer que :
x²+2x+4=x²+2x+1+3
       =(x+1)²+3>0
donc
F'(x) est du signe de (2-x)/x
F'(x)=0 ssi x=2
F'(x)>0 ssi x appartient à ]0,2[
F'(x)<0 ssi x appartient à ]-oo,0[U]2,+oo[

donc f est strictement croissante sur ]0,2[ et strictement décroissante sur ]-oo,0[U]2,+oo[

F(2)=3-1/2(2)-2/(2²)=3-1-1/2=3/2

F(x)=3-x/2 -2/x²
donc limF(x)=-oo en +oo et limF(x)=+oo en -oo

[F(x)-(3-x/2)]=-2/x²
donc lim[F(x)-(3-x/2)]=0 donc y=3-x/2 est assymptote de la courbe représentative de F au voisinage de +oo et -oo

donc voila tu n'as plus qu'à vérifier avec tes résultats et tracer la courbe de F

O_o c'est trop merci

Merci beaucoup Watik, sans le vouloir je pense, tu as répondu aux 2 questions suivantes

Pour le reste je pense pouvoir réussir tout seul, merci à tous.