du differentiel

Posté par crac crac

salut,
j'ai un enonce :
f:[a,b]-> R derivable
on suppose  que f'(a)et f'(b) non nuls et de signes differents.
on veut montrer qu'il existe un nombre c compris entre a et b,tel que pour tout x, x appartenant à [ a, b],on ait  f(x)>= f(c).
je ne sais pas comment commencer? des pistes?

Posté par Camélia Camélia

Bonjour

En fait tu veux montrer que f est minorée et atteint son minimum. Ceci est vrai pour toute fonction continue sur [a,b] et ne nécessite pas de dérivabilité!

Posté par crac crac

bonjour,
d'accord,les arguments de derivabilite et le fait que f'(a)et f'(b) non nuls et de signes differents n'etaient pas necessaires!!
En fait,il faut montrer que c est different de a.
on va proceder par l'absurde.
Si je suppose que f a un minimum en a avec f'(a) negatif je trouve rapidement une contradiction donc c different de a.
Mais par contre, si on suppose que f ait un minimum en a et f'(a) positif je bloque...
Par l'absurde ;
supposons c=a, si f'(a)>=0 alors (f(x)-f(a)) / x-a est positif quel que soit x appartenant a ]a,b] car la derivee en a est positif....je n'arrive pas trouver de contradiction si f'(a)>=0.
                                                                  merci d'avance

Posté par Camélia Camélia

Rebonjour

Heureusement! la propriété est fausse!

Prends f(x)=1-x² sur [-2,1], tu verras!

Posté par crac crac

pour votre exemple ,c'est vrai,car en effet f'(x)<=0
pour ce cas je l'ai prouve (1er cas) et pour f'(x)>=0 ???

*1er cas:f'(a)<=0
le  minimum de f ne peut pas etre en a,car ,sinon on aurait quelque soit x appartenant a ]a,b]   (f(x)-f(a)) / x-a positif ,en prenant la limite quand x tend vers a,on aurait f'(a)>=0 ,ce qui est impossible donc a n'est pas le minimum.

*2eme cas: f'(a)>=0  
j'arrive pas a prouver que le minimum  est different de a. que faire?

Posté par Camélia Camélia

Je te donne un exemple ou f'(-2)=4> 0 et où le minimum est en -2; que veux-tu de plus? Ton énoncé est faux!

Posté par crac crac

ooooook! je suis entierement d'accord.je m'etait embrouille vers la fin. pour f'(b)<=0 est ce qu'on peut trouver un contre-exemple?

Posté par Camélia Camélia

C'est le même non?

C'était quoi précisément la question de ton exo?

Posté par crac crac

la question etait :f:[a , b] -> R derivable ,f':[a , b] -> R .
f'(a) f'(b) non nuls et de signes contraires. c est le minimum de f.
montrer que c different de a.
montrer que c different de b.

Posté par Camélia Camélia

Eh bien, c'est faux!

Regarde cette fonction sur [-2,1] c'est f(x)=-x²/2