surfaces paramétrées : intersection d'un plan et d'une courbe

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surfaces paramétrées : intersection d'un plan et d'une courbe

Posté le 30-05-08 à 17:07

Posté par fusionfroide

lu'

Voilà la bête !

On définit $4$\rm f : ]0,+\infty[\times \mathbb{R} ->\mathbb{R}^3, (u,v)->(-usin(v),ln(u),ucos(v))$

Soit $4$\rm g : ]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[ -> \mathbb{R}^2$ définie par $4$\rm g(t)=(\frac{e}{cos(t)},t)$ et soit $4$\rm\delta=fog$

Montrer que le support de $4$\rm\delta$ est l'intersection du support de $4$\rm f$ et du plan horizontal d'équation cartésienne $4$\rm\delta=e$

On doit donc montrer que $4$\rm Im(\delta)=Im(f)\cap\{Z=e\}$

Commençons par $4$\rm \subset$ :

Soit $4$\rm t \in ]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[$

On a : $4$\rm \delta(t)=f(g(t))=(-etan(t),ln(\frac{e}{cos(t)}),e)$

Donc $4$\rm Im(\delta) \subset \{Z=e\}$

D'autre part, par définition, $4$\rm\delta$ est tracée sur la surface $4$\rm f$ donc $4$\rm Im(\delta) \subset Im(f)$

D'où le résultat.

Pour l'autre inclusion :

Soit $4$\rm f(u,v) \in Im(f) \cap \{Z=e\}$

Alors $4$\rm f(u,v)=(-usin(v),ln(u),ucos(v))$ et $4$\rm ucos(v)=e$ i.e $4$\rm u=\frac{e}{cos(v)}$

Mais je ne vois pas trop ce qui me permet de justifier que $4$\rm cos(v) \neq 0$

Merci ^^

re : surfaces paramétrées : intersection d'un plan et d'une cour

Posté le 30-05-08 à 17:48

Posté par fusionfroide

Ne pas lire $\delta=e$ mais $Z=e$ bien entendu

surfaces paramétrées : intersection d'un plan et d'une courbe

Posté le 30-05-08 à 18:03

Posté par carpediem

ne serait pas tout simplement parce que e

0
ce me semble-t-il...

re : surfaces paramétrées : intersection d'un plan et d'une cour

Posté le 30-05-08 à 21:25

Posté par fusionfroide

Effectivement, $e \neq 0$ et $u \neq 0$ d'où le résultat.

re : surfaces paramétrées : intersection d'un plan et d'une cour

Posté le 30-05-08 à 22:37

Posté par fusionfroide

Je continue la preuve :

On a donc $4$\rm u=\frac{e}{cos(v)} \\$
Il faut maintenant voir que $4$\rm f(u,v) \in Im(\delta)$ donc que $4$\rm\exist t \in ]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[$ tel que $4$\rm\delta(t)=f(u,v)$

On a $4$\rm f(u,v)=f(\frac{e}{cos(v)},v)=(-etan(v),ln(\frac{e}{cos(v)}),e)$

Suffit-il de prendre maintenant $4$\rm t=v$ ?

Merci

re : surfaces paramétrées : intersection d'un plan et d'une cour

Posté le 30-05-08 à 22:43

Posté par fusionfroide

Hummm comme $4$\rm t$ est restreint à un intervalle de longueur $4$\rm 2\pi$ , ne faut-il pas prendre $4$\rm t=v [2\pi]$ ??

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