Forum : géométrie :
Sous variétés différentiables

Salut

J'ai ceci dans mon cours : une sous-variété différentiable de de dimension () est un sous-ensemble de qui est localement difféomorphe à

C'est pas très parlant pour moi.

Alors voici une exemple dans

Si je prends le cercle unité

C'est un sous-ensemble de

Quelques questions :

-> quelle est sa dimension ? Je dirai intuitivement 1

-> Pourquoi est-il localement difféomorphe à

Merci ^^

pardon et salut

d'après mes vagues souvenirs parce que tout ouvert de S¹ est un "intervalle" ouvert de donc lui-même (il existe un difféo de IR dans cet ouvert)
d'après le cours
ce me semble-t-il...

citation :
Pourquoi est-il localement difféomorphe à R

>par le difféomorphisme f qui enroule la droite des x...tu le vois sur un dessin...pour expliciter le difféomorphisme...je sais pas trop exactement,j'ai peur de dire une bétise...f(o)=(cos(o),sin(o)) peut-etre...o dans R...mais à vérifier quand meme


pour la dimension,je dirais 2 mais je suis absolument pas sur(moi perso,je fais avec le difféo...)

et texp(it)...

carpediem >> pourquoi un coin ne peut-il pas être recouvert pas des ouverts homéomorphes à R ?

Exemple : le coin d'un carré ?

à R^2 pardon

un carré et un cercle sont homéomorphes
regarde ici :

par contre ils ne sont pas difféomorphes cae la différentielles doit être continue et ne l'est pas dans le coin

Laissez tomber, je me suis pris la tête pour rien ...

Bonne nuit

En fait non, je comprends toujours kedal

Pourquoi peut-on dire que le sous-ensemble S^1 de dimension 1 de R^2 est localement difféormorphe à R

Je ne vois pas où intervient la notion d'ouverts ?

robby > désolé, j'ai compris ton idée, mais pas la façon d'exhiber le difféo entre S^1 et R

Carpediem te le donne le difféomorphisme locale...

citation :
Pourquoi peut-on dire que le sous-ensemble S^1 de dimension 1 de R^2 est localement difféormorphe à R

>parce qu'il existe un difféomorphisme local f
qui va de R dans le cercle unité...sauf erreur.
bonne journée.

OK je viens de comprendre.

Maintenant, pourquoi un coin n'est-il pas localement difféomorphe à ?

Merci beaucoup !

Avant de comprendre ceci, j'aimerai que l'on m'explique ce que signifie localement difféomorphe.

Cela veut-il dire que deux ensembles A et B sont localement difféomorphes ssi il existe un difféomorphisme ?

D'autres part, où intervient la notion d'ouverts dans : une sous-variété différentiable de de dimension est un sous-ensemble de qui est localement difféomorphe à

C'est surtout à ce dernier post que j'aimerai avoir une réponse ^^

citation :
localement difféomorphe.

>c'est que au voisinage d'un point (localement) il existe un difféomorphisme(donc local) entre les deux ensembles...
mais c'est à confirmer quand meme...
je pense que Camélia te l'expliquerais beuacoup mieux que moi!

Mais sinon je crois que c'est ça robby,

Mais quel est le lien avec les ouverts ??

Voilà, voilà...

Prenons le carré C=[0,1]{0,1}{0,1} [0,1]

Au voisinage du point (0,0): Supposons qu'il existe un ouvert U qui contient (0,0) et un difféomorphisme f de ce voisinage sur un voisinage de (0,0) tel que f(CU) soit un bout de l'axe des x (donc on a transformé l'angle droit en un angle plat). Je te rappelle que difféomorphisme veut dire bijectif avec réciproque différentiable et que cette dernière condition entraine que la jacobienne est inversible en chaque point.

Alors on pose f=(f₁,f₂). On a donc f₂(CU)=0.

Mais alors, pour x>0, f₂(x,0)=0, donc et par continuité . De même de f₂(0,y)=0 pour y>0, tu tires Sauf que ceci prouve que la deuxième ligne de la jacobienne de f en (0,0) est nulle, donc en aucun cas f ne peut être un difféomorphisme!

Merci Camélia, rhaalala ça a pas l'air intuitif quand même ...je sens encore de longues nuits blanches

Sinon, je voudrai absolument comprendre mes questions du message de 12h30 et surtout le rapport entre ouverts et sous-variétés.

D'autre part, est-ce la bonne définition de sous-variété que j'ai donné ? En effet, j'en ai une autre où une sous-variété est un sous-ensemble recouvert par des plongements et où la notion d'ouverts intervient clairement.
Mais ce qui me choque c'est qu'on a dit qu'un plongement était un homéo...je m'emmêle donc totalement et ne comprends plus rien avec ces histoires de difféo et d'homéo, mais ça va venir ^^

Rappel :

g est un plongement si :

(1) g est différentiable
(2) la différentielle est injective
(3) g^(-1) est continue
(4) g est injective

Mais (4)+(1)+(3) nous donne que g est un homéomorphisme.


Enorme merci ^^

...recouvert par des plongement est surement mal dit. ...

je dois aller faire mes courses, je reviens plus tard ^^