Forum : énigmes :
[détente]_JFF_La succession du Père Matovitch

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je l'ai pris dans mon filet et je l'ai remonté mais je n'ai pas trouvé grand chose
pour une piscine il n'y a pas 3m de non -édificandit?

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soit MNPQ le carré représentant la piscine avec M sur [AC] N sur [CB] P sur [BA] et Q sur [AB]
  soit h=CH  la hauteur issue de C ,elle coupe [MN] en R posons y= côté du carré et CR=Y
tan A =y/AQ=Y/MR  et tanB= y/BQ=Y/RN
MR=Y.AQ/y et RN= Y*BQ/y  MR+RN=y=Y(AQ+BQ)/y=Y(c-y)/y
y²= Y(c-y) or aire S= 1/2h*c==> Y=(2S/c)-y===> y= (2Sc)/(c²+2S)
soit le côté du carré en fonction de la longueur d'un côté du triangle
posons x = longueur côté d'un triangle et 2S=k>0
y=f(x)= kx/(x²+k)
f'(x)= k(k-x²)/(x²+k)²
f'(x)=0 ssi x=k f'(x)>0 pour 0<x<k
==> f a un maximum pour x=k
pour un triangle donné
x=k=x=2S=x=hx
x²=hx==>h=x
il choisira un triangle où la longueur  de l'un coté sera égale à la hauteur issue du sommet opposé à ce côté, si aucun triangle n' a cette particularité , il choisira celui où ce quotient  est le plus proche de 1

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prenons comme unité d'aire le double de l'aire commune au triangle et comme unité de longueur le côté du carré d'aire unité
soient c le côté d'un triangle et h la hauteur qui y est relative; h = 1/c
dans le triangle rectangle de côtés h et c, le carré partageant l'angle droit et dont la diagonale est la bissectrice de celui-ci est égal au carré inscrit dans le triangle original
la bissectrice partage l'hypoténuse en deux segments proportionnels à c et à h
la parallèle menée du pied de cette bissectrice au côté c est un côté du carré et vaut c*h / (h+c), ou encore : 1 / (c + 1/c)
il faut donc que c + 1/c soit le plus petit possible
cette fonction est décroissante, a son minimum en 1, puis croît
d'autre part, il est clair que si c s'éloigne de 1, 1/c s'éloigne de 1 aussi dans l'autre sens et leur différence s'accroît
la valeur absolue de la différence c - 1/c décroît puis croît de concert avec la fonction c + 1/c
Matovitch Aîné choisira donc le triangle où la différence entre le côté et la hauteur est la plus petite

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avec une toute autre démarche que plumetore j'ai trouvé que le carré a une aire maximun quand le c^té sur lequel il repose a même longueur que la hauteur qui lui est relative

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Je complète ma réponse d'hier
Si x= longueur d'un côté et si x= hauteur relative à ce côté  alors x²=2S
donc il choisira le triangle dont le carré de la longueur d'un côté est égal au double de l'aire de chaque triangle
si aucun triangle n'a cette particularité il choisira un triangle  tel que x²/2S soit le plus proche de 1

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Je complète ....
dans le cas le plus favorable (x²=2S) on peut remarquer que l'aire de la piscine sera égale à la moitié de l'aire de la parcelle
y= côté de la piscine, S aire de chaque parcelle
y= 2S *(2S)/(4S)==>y²=S/2
donc il choisira la parcelle qui lui permettra d'avoir une piscine qui occupera la moitié du terrain,ou celle qui en sera la plus proche.

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...autrement dit, puisque, comme le dit l'énoncé, il accès aux dimensions des différents triangles...

Bon dimanche !

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je n'avais pas compris qu'il fallait mettre S en évidence
si l est la longueur du côté qui longe la piscine et h la hauteur correspondante hl=2S
donc quand l=h l²=2S et l'aire du carré estl²/4=S/2
Mw sait donc que la surface de sa piscine sera au plus S/2, pour repérer la parcelle favorable il suffit donc qu'il vérifie qu'il y a un côté du triangle donc le carré de la longueur est égal à 2S
ou qu'il calcule 2S et mesure les côtés