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exercice d'oral

   
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maths supexercice d'oral

#msg1898296 Posté le 31-05-08 à 12:04
Posté par Profilpierrette pierrette

Bonjour à tous

J'ai un problème sur un exercice d'oral pour les révisions des concours
Je ne vois pas comment m'y prendre, pourriez-vous me donner un indice svp?

On considère la série de fonctions (un)n1 de [1;+[ dans définie par :
un(x) = (1/nx) - (1/tx)dt l'intégrale étant définie de n à n+1.

Montrer que n3, x1, 0un(x)(1/nx)-(1/(n+1)x)1/(n(n+1))

En fait, j'ai déjà montré que un(x)0 mais je ne vois pas trop comment m'y prendre pour les autres inégalités.
Pourriez-vous m'aider svp?

Merci d'avance
re : exercice d'oral#msg1898429 Posté le 31-05-08 à 14:27
Posté par ProfilCamélia Camélia Correcteur

Bonjour

La fonction 1/tx étant positive et décroissante sur [n,n+1] on a

\Large\frac{1}{n+1}^x\leq \bigint_n^{n+1}\frac{dt}{t^x}
re : exercice d'oral#msg1898438 Posté le 31-05-08 à 14:30
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Merci Camélia !
re : exercice d'oral#msg1898444 Posté le 31-05-08 à 14:32
Posté par ProfilCamélia Camélia Correcteur

re : exercice d'oral#msg1898447 Posté le 31-05-08 à 14:34
Posté par ProfilCamélia Camélia Correcteur

Désolée je viens de voir que mon indication est mal tapée.

\Large \frac{1}{(n+1)^x}\leq \bigint_{n}^{n+1}\frac{dt}{t^x}\leq \frac{1}{n^x}
re : exercice d'oral#msg1899124 Posté le 31-05-08 à 23:40
Posté par Profilpierrette pierrette

Merci beaucoup


J'aurais une autre petite question concernant un tout autre exo:

Dans un énoncé, il est écrit: soient P et Q deux polynômes homogènes de degré n.
Sachant que P et Q dépendent de x et y.

Que signifie "homogène" ??

Merci d'avance
re : exercice d'oral#msg1899126 Posté le 31-05-08 à 23:41
Posté par Profilgui_tou gui_tou

re : exercice d'oral#msg1899146 Posté le 01-06-08 à 00:00
Posté par Profilpierrette pierrette

ha ok merci
re : exercice d'oral#msg1899165 Posté le 01-06-08 à 00:47
Posté par Profilpierrette pierrette

Une autre petite question sur l'exercice suivant:

Soit (a,b,c)*2 avec b2 - 4ac < 0
Pour n*, on note:

In(x) = intégrale (1/(ax2+bx+c)n)dx

Etablir une relation de récurrence entre In(x) et In+1(x).

Il est indiqué qu'on peut utiliser une intégration par parties, mais je ne vois vraiment pas laquelle faire, pourriez-vous m'aider svp?
re : exercice d'oral#msg1899176 Posté le 01-06-08 à 01:11
Posté par Profilfusionfroide fusionfroide

Quelqu'un voit ?
re : exercice d'oral#msg1899177 Posté le 01-06-08 à 01:13
Posté par Profilfusionfroide fusionfroide

ah c'est bon je te le tape
re : exercice d'oral#msg1899178 Posté le 01-06-08 à 01:15
Posté par Profilfusionfroide fusionfroide

fausse alerte

Si quelqu'un a trouvé, je suis preneur
re : exercice d'oral#msg1899191 Posté le 01-06-08 à 01:38
Posté par Profilfusionfroide fusionfroide

Je partirai de I_{n+1}, et je considèrerais (ax²+bx+c)^n(ax²+bx+c)
re : exercice d'oral#msg1899199 Posté le 01-06-08 à 02:03
Posté par Profilpierrette pierrette

c'est ce que j'ai essayé, mais je suis coincé sur l'intégration par parties.
En fait, je pensais utilisé le fait que le discriminant est nagatif, donc il y a deux racines complexes, et après faire une décomposition en éléments simples, mais c'est pareil, je reste coincé ...
re : exercice d'oral#msg1899301 Posté le 01-06-08 à 10:49
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Tu as déjà regardé 3$\rm I_1, I_2 ?

3$I_1=\Bigint_{u_1}^{u_2}{4$\fr{dx}{ax^2+bx+c

Travaillons sur la forme canonique de 3$ax^2+bx+c :

3$ax^2+bx+c\,=\,a\[\(x+\fr{b}{2a}\)^2-\fr{b^2-4ac}{4a^2}\]

donc 3$I_1=\fr1a\Bigint_{u_1}^{u_2}{4$\fr{dx}{\(x+\fr{b}{2a}\)^2-\fr{b^2-4ac}{4a^2}

En divisant la fraction par 4$\fr{b^2-4ac}{4a^2} il vient

3$I_1=\fr1a\Bigint_{u_1}^{u_2}{4$\fr{\fr{4a^2}{b^2-4ac}dx}{\(\fr{x+\fr{b}{2a}}{\fr{\sqrt{4ac-b^2}}{2|a|}\)^2-1

Sauf erreur et à compléter
re : exercice d'oral#msg1899584 Posté le 01-06-08 à 13:19
Posté par Profilpierrette pierrette

Ok, merci, j'avais pas pensé à regarder les 2 premiers avant. Merci


Une autre ptite question sur un autre exercice:

Montrer que les intégrales impropres de Fresnel I= intégrale cos(x²)dx entre - et +
et J= intégrale sin(x²)dx entre - et +

sont convergentes ....

Je ne vois pas comment m'y prendre avec les "petits o" et les "grands O" ( relations de cmparaison) pour montrer qu'elles sont convergentes ...
re : exercice d'oral#msg1899667 Posté le 01-06-08 à 13:59
Posté par Profilfusionfroide fusionfroide

Salut

I(x)=\Bigint_{-\infty}^{\infty}cos(x^2)dx=2\Bigint_0^{\infty}cos(x^2)dx car ta fonction est paire.
re : exercice d'oral#msg1899678 Posté le 01-06-08 à 14:04
Posté par Profilfusionfroide fusionfroide

POur étudier la convergence, il suffit d'étudier la fonction g(x)=\Bigint_0^{x} exp{it^2}dt et de montrer qu'elle e une limite en l'infini.
re : exercice d'oral#msg1899679 Posté le 01-06-08 à 14:04
Posté par Profilfusionfroide fusionfroide

qu'elle a ...
re : exercice d'oral#msg1899683 Posté le 01-06-08 à 14:07
Posté par Profilpierrette pierrette

a d'accord, merci
re : exercice d'oral#msg1899690 Posté le 01-06-08 à 14:16
Posté par Profilpierrette pierrette

pour l'intégrabilité en 0, je dis que quand t tend vers 0, eit² tend vers 1 qui est intégrable sur [0;1]

Mais pour l'intégrabilité en +, eit² est un "petit o" de quoi?
re : exercice d'oral#msg1899736 Posté le 01-06-08 à 14:59
Posté par Profilfusionfroide fusionfroide

Justement, ça ne va pas marcher. Il faut faire une IPP

En effet, tu as : 4$\rm g(x)=\Bigint_0^1 e^{it^2}dt+\Bigint_1^{x}exp{it^2}dt

Posons 4$\rm u=t^2 \\
Alors 4$\rm g(x)=\Bigint_0^1 e^{it^2}dt+\frac{1}{2}\Bigint_1^{x^2}\frac{exp{iu}}{\sqrt{u}}

Or, 4$\rm \Bigint_1^{x^2}\frac{exp{iu}}{\sqrt{u}}=\[\frac{exp{iu}}{i\sqrt{u}}\]_1^{x^2}+\frac{1}{2i}\Bigint_1^{x^2}\frac{exp{iu}}{u^{\frac{3}{2}}}du \\

Or, 4$\rm |\frac{exp{iu}}{u^{\frac{3}{2}}}| \le \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}}
re : exercice d'oral#msg1900051 Posté le 01-06-08 à 17:48
Posté par Profilpierrette pierrette

ok, merci beaucoup.j'y suis arrivée.

J'aurais une autre petite question:

c'est un exercice sur la fonction d'Euler.

On sait que pour tout réel x strictement positif, (x)>0.
On peut donc définir sur ]0;+[ la fonction d'Euler par:
(x) = '(x) / (x)

Bien sûr, on a: (x) = intégrale (tx-1e-t)dt entre 0 et +

Au préalable, j'ai montré que: x]0;+[: (x+1) - (x) = 1/x

Soit ]0;1[. Soit n un entier naturel non nul, déterminer en fonction de n et , quatre réels u1,v1,u2,v2, tels que:

(1/(k-)) = (u1)-(v1) la somme allant de k=1 jusqu'à k=n

et (1/(k+)) = (u2)-(v2)  la somme allant de k=1 jusqu'à k=n


Je ne vois pas comment trouver ces réels ... pouvez-vous m'expliquer svp?
Merci d'avance

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