Forum : topologie :
Compact

Salut

J'ai un trou ...

L'histoire se passe dans

Comment montre-t-on qu'un intervalle fermé est compact ?

Je sais que tout compact de R est fermé borné et que dans R^n muni de la norme infinie, compact équivaut à fermé borné

ET je sais aussi que tout sous-ensemble d'un espace compact est compact ssi il est fermé borné

Peut-être avec Riesz ?

Soit E un espace vectoriel normé réel : E dimension finie ssi la boule unité fermée est compacte.

Au secours !

Salut FF,

un intervalle fermé borné est toujours compact, c'est le théorème de Heine-Borel-Lebesgue qui affirme ce sens:

Soit un intervalle fermé borné. Soit un recouvrement ouvert de .

si il est évident qu'on peut extraire un sous-recouvrement fini.

si , on note .

est non vide car contient et est majoré par , il admet donc une borne supérieure .

Montre que nécessairement , et c'est gagné.

Voilà, voilà! Du calme...

Non un intervalle fermé n'est pas forcément compact. C'est vrai si et seulement s'il est borné!

Pour le démontrer je pense que le mieux est de passer par Bolzano-Weierstrass!

De toute façon ça n'a rien à voir avec les intervalles.

Dans R, "compact" équivaut à "fermé et borné"

Salut romu,

Rien de ce que j'ai écris ne permettaient de conclure. Je savais juste que tout compact d'un espace métrique est un fermé borné, en particulier pour R, ce sont les intervalles fermés bornés.

Merci romu, je n'avais pas vu ce résultat ...

Sinon, pour un intervalle fermé non compact, est-ce que fait l'affaire ?

Absolument!

tous les intervalles fermés non bornés font l'affaire, prends par exemple comme recouvrement ,
il est clair qu'on peut pas en extraire un sous-recouvrement fini.

Si tu veux montrer dans le cas plus général qu'un fermé borné de est compact, il vaut mieux utiliser BW comme te l'indique Camélia.

ok merci à vous ^^

Une dernière question : pourquoi ne peut-on pas utiliser le théorème de Riesz pour montrer que tout intervalle fermé borné est compact ? (les boules étant bornée, non ?)

citation :
Je savais juste que tout compact d'un espace métrique est un fermé borné, en particulier pour R, ce sont les intervalles fermés bornés.

Plus que ça même, dans IR ce sont les fermés bornés (pas forcément des intervalles).

le théorème de Riesz c'est plus l'implication "boule unité compacte => E de dimension finie".

La réciproque est en général annoncé avant la découverte de ce théorème, et on la montre avec BW (cf wiki).

Je ne me lancerais pas dans une utilisation de Riesz... Je suis prête à parier que sa démonstration utilise la catérisation des compacts de R, comme d'ailleurs tous les résultats que tu cites dans Rⁿ.

ok, effectivement, mieux vaut ne pas faire les choses à l'envers.

Lorsque l'on dit que sur R^n, un fermé borné est compact, cela sous-entend que l'on  munit R^n d'une norme, n'est-ce pas ?

Oui c'est une question bête ^^

d'une topologie plus exactement, et tu dois savoir que toute les normes de induisent la même topologie car elles sont équivalentes, donc forment les mêmes fermés et les mêmes compacts.

De plus pour deux normes équivalentes N1, N2
si une partie de est bornée pour N1, elle est aussi pour N2.

Je viens de me rendre compte que dans la démonstration du fait que dans R^n, A compact implique A fermé borné, mon prof utilise à un moment donné : "on sait que tout intervalle fermé est compact"

Voici sa démo :

Soit A fermé borné
A borné donc il existe une boule fermée contenant A. DOnc
Or tout intervalle fermé est compact........

Cette preuve est fausse non ? D'une part avec ce que l'on vient de dire, et d'autre part car fermé ssi B compact seulement E espace métrique compact

Qu'en pensez-vous ?

oui romu, ça je l'ai appris avec les bouquins : effectivement, la partie topologie du programme de topologie a été supprimée du programme... bref, on ne voit que les espaces métriques. C'est pourquoi il y a pas mal de notions assez vagues pour moi.

je ne vois pas où il y a d'erreur.

un produit fini de compacts est compact (par Tychonoff faible),
d'où A est un fermé inclus dans un compact, donc A est compact.

Oui cette année on s'est restreint à la partie métrique aussi et j'ai vu la partie générale surtout dans des bouquins.

Bon j'ai trouvé que ça ne change pas grand chose au final,
dans la partie générale, la plupart des espaces qu'on voyait était métrique ou métrisable,
on a juste eu un aperçu des espaces muni d'une topo de Zariski, grossière ou Cofinie pour les cas non métriques mais on s'est très peu attardé dessus, la notion de séparation me paraissait aussi plus insistée, mais sinon c'était à peu près pareil.
Disons qu'on raisonne plus en termes de voisinages, fermés, ouverts qu'en termes de distance, normes.

citation :
A est un fermé inclus dans un compact, donc A est compact.

c'est vrai car est séparé (mais si tu es dans un cadre métrique, ce n'est peut être pas la peine de le préciser)

Pour la démonstration de ton prof: C'est juste un oubli (de qui?). L'argument est A borné entraine A contenu dans un produit d'intervalles fermés bornés dont on sait déjà qu'ils sont compacts, donc leur produit est compact (probablement déjà vu) et alors A est fermé dans un compact, donc compact.

Attention à tous les deux: Dans un espace métrique quelconque, compact entraine fermé et borné. La réciproque est fausse, justement Riesz dit qu'elle est vraie dans les R-espaces vectoriels normés de dimension finie.

ok merci à vous deux ^^

J'ai tout compris :p

C'était juste des révisions ^^ et pour me remettre les idées au clair ^^

C'est quand même agréable de savoir qu'il y a des gens sur ce forum pour répondre à pas mal de nos questions, surtout avant les exams ...

oui, et j'espère bien que tu commences à être calé en calcul diff et en géométrie