Parallélogramme de Wittenbauer

Posté par Kali_1608 Kali_1608

Bonjour! J'ai un DM à faire et je suis complètement perdu! S'il vous plaît aidé moi à résoudre ce problème. Je fais afficher un figure pour mieux illustrer le problème, elle n'est pas exactement correcte, mais elle aide a mieux visulaiser le problème. Voici l'énoncer:


Soit ABCD un quadrilatère convexe. On partage chacun des côtés [AB] , [BC] , [CD] , [DA] en trois segments égaux et on joint les points ainsi obtenus deux à deux comme sur la figure.

Questions:

1) Montrer que PQRS est un parallélogramme

2) On considère l'isobarycentre G des points A, B, C et D; le centre O du parallélogramme PQRS et le point d'intersection I des diagonales [AC] et [BD].
Montrer que O, I et G sont alignés.


Voici quelques clés:

- Thalès dans les triangles ABC, ACD...
- IP= 2/3IA+2/3IB , IQ = ? , IP+IQ+IR+IS=?  (ce sont tous des vecteurs)

Posté par Kali_1608 Kali_1608

s'il vou plait!! aidez-moi!!  

Posté par pgeod pgeod

bonsoir,

1) Montrer que PQRS est un parallélogramme

(PS) / à (BD) d'après la réciproque de Thalès
(QR) / à (BD) d'après la réciproque de Thalès

donc (PS) // (QR)

idem pour les autres côtés // à (AC)

et donc PQRS est un quadrilatère dont les côtés opposés sont //
c'est donc un parallélogramme.

...

Posté par Kali_1608 Kali_1608

merciiiii!!! j'ai bien compris maintenant!
mais je me bloque un epu sur la deuxième question. J'ai acune idée comment résoudre!

Posté par Kali_1608 Kali_1608

j'ai besoin d'aide pour le n°2

Posté par pgeod pgeod

utilise les clefs qui sont données.
C'est bien le début du raisonnement.

IP = 2/3IA + 2/3IB (d'après Thalès et règle du parallélogramme)
de la même manière :
IQ = 2/3IB + 2/3IC
IR = 2/3IC + 2/3ID
IS = 2/3ID + 2/3IA

ajoute membre à membre, et donc :

IP + IQ + IR + IS = 4/3 (IA + IB + IC + ID) [1]

or G est l'isobarycentre des points A, B, C et D
<=> M, 4 MG = MA + MB + MC + MD

or O est le centre du parallélogramme PQRS
<=> O est l'isobarycentre des points P, Q, R et S
<=> M, 4 MO = MP + MQ + MR + MS

donc la relation [1] s'écrit ........

...

Posté par Kali_1608 Kali_1608

J'ai pas très bien compris, mais je vois que dans :

IP + IQ + IR + IS = 4/3 (IA + IB + IC + ID) [1]

on a une reduction. non??

Posté par pgeod pgeod



J'ai pas très bien compris.
Quel est le sens de la question ?

...

Posté par Kali_1608 Kali_1608

non, oubliez. J'avais juste eu l'idée d'une réduction quelque part. J'ai tord.

Posté par pgeod pgeod

ok

Posté par Kali_1608 Kali_1608



j'ai vraimente des grandes difficultés pour comprendre le n°2

Posté par pgeod pgeod


De ce que je viens d'écrire das mon posté le 31/05/2008 à 18:53,
jusqu'où comprends-tu ?

...

Posté par Kali_1608 Kali_1608

en faite j'ai presque rien comris :S
j'ai pas compris pourquoi on ajoute membre à membre et ce qui est en bas.

Posté par pgeod pgeod


On a ces relations :

IP = 2/3IA + 2/3IB
IQ = 2/3IB + 2/3IC
IR = 2/3IC + 2/3ID
IS = 2/3ID + 2/3IA

maintenant, à partir de ces relations, on calcule :

IP + IQ + IR + IS = ....

en remplaçant IP, IQ, IR et IS par leur valeur.

...

Posté par Kali_1608 Kali_1608

en remplaçant IP, IQ, IR et IS par leur valeur on obtient:

2/3IA + 2/3IB + 2/3IB + 2/3IC + 2/3IC + 2/3ID + 2/3ID + 2/3IA

soit,

4/3IA + 4/3IB + 4/3IC + 4/3ID

Posté par Kali_1608 Kali_1608

alors: 4/3 (IA + IB + IC + ID)

Posté par pgeod pgeod


oui, c'est ça. et donc on e arie à la suite :

IP + IQ + IR + IS = 4/3 (IA + IB + IC + ID) [1]

or G est l'isobarycentre des points A, B, C et D
<=> M, 4 MG = MA + MB + MC + MD

or O est le centre du parallélogramme PQRS
<=> O est l'isobarycentre des points P, Q, R et S
<=> M, 4 MO = MP + MQ + MR + MS

donc la relation [1] s'écrit ........

...

Posté par Kali_1608 Kali_1608

c'est lá oú je me bloque complètement, j'ai rien compris au chapitre du barycentre, alor je me bloque.

Posté par Kali_1608 Kali_1608

je vois pas un rapport

Posté par pgeod pgeod


ok je détaille :

IP + IQ + IR + IS = 4/3 (IA + IB + IC + ID) [1]

or G est l'isobarycentre des points A, B, C et D
<=> M, 4 MG = MA + MB + MC + MD
...... et ce qui est vrai pour tout M, l'est également si M = I
...... et donc : 4 IG = IA + IB + IC + ID

or O est le centre du parallélogramme PQRS
=> O est l'isobarycentre des points P, Q, R et S
<=> M, 4 MO = MP + MQ + MR + MS
...... et ce qui est vrai pour tout M, l'est également si M = I
...... et donc : 4 IO = IP + IQ + IR + IS

donc la relation [1] s'écrit :
4 IO = 4/3 (4 IG)
<=> IO = 4/3 IG
=> IO et IG sont colinéaires
=> les points I, O et G sont alignés.

...

Posté par Kali_1608 Kali_1608

ahhh maintenant je vois le rapport!

Merci beaucoup pgeod!

Posté par B2L B2L

Ah! Merci beaucoup à vous tous! J'ai exactement le même DM à faire, et personnelement je n'y arrivais pas du tout. Merci!

Posté par B2L B2L

SVP, pourquoi IP = 2/3IA + 2/3IB?

Posté par sossow sossow

D'abord avec thalès. Soit A2 le point d'intersection de (PS) et (AC) et P2 le point d'intersection de (AB) et (PS).
On applique thalès ds les triangles AP2A2 et ABI.
On a: AP2/AB = AA2/AI = P2A2/BI = 1/3
        Donc IA2 = 2/3 IA

Soit B2 le point d'intersection de (BD) et (PQ)
On prouve de même que IB2 = 2/3 IB

IP = IB2 + B2P (relation de chasles)
Or PQRS et un parallélogramme donc B2P = IA2

IP = IB2 + IA2
<=> IP = 2/3 IA + 2/3 IB

Voila j'espère que j'ai été assez claire!

Posté par B2L B2L

Svp, c'est urgent. Pourquoi 4 MG = MA + MB + MC + MD?

Posté par B2L B2L

Juste comme ça; ce ne serait pas plutôt 4 MG = 4/3MA + 4/3MB + 4/3MC + 4/3MD?

Posté par B2L B2L

Et donc 3MG = MA + MB + MC + MD?