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Polynômes et récurrence
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posté le 31/05/2008 à 18:48Polynômes et récurrence
posté par : Skops 
Bonjour,
=1)
et pour tout entier naturel, =2XP_n(X)-\frac{1}{n+1}(1+X^2)P'_n(X))
Le degré de Pn est n et son coefficient dominant an est n+1
Montrer que
=(n+2)P_n(X))
J'ai essayé par récurrence et après avoir remplacé tout par n'importe quoi, je n'aboutis à rien
Je pensais écrire un truc comme=\frac{P'_{n+1}(X)}{n+2})
et montrer que si un polynôme R(X) vérifie cette égalité alors R(X)=P(X) mais je sais plus trop comment on fait
Merci
Skops
Le degré de Pn est n et son coefficient dominant an est n+1
Montrer que
J'ai essayé par récurrence et après avoir remplacé tout par n'importe quoi, je n'aboutis à rien
Je pensais écrire un truc comme
Merci
Skops
posté le 31/05/2008 à 19:09re : Polynômes et récurrence
posté par : soucouSalut,
Personnellement je pencherai plutôt sur la formule de Leibniz.
Personnellement je pencherai plutôt sur la formule de Leibniz.
posté le 31/05/2008 à 19:12re : Polynômes et récurrence
posté par : gui_toulut skopinou
=1\\P_{n+1}(X) = 2XP_n(X) - \fr{1}{n+1}(1+X^2)P'_n(X))
Pour tout n entier on définit la propriété\Leftright P'_{n+1}(X)=(n+2)P_n(X))
)
Soit
tel que )
. Montrons que \Leftright P'_{n+2}(X)=(n+3)P_{n+1}(X))
On a par hypothèse
 = 2XP_{n+1}(X) - \fr{1}{n+2}(1+X^2)P'_{n+1}(X))
On dérive
 = 2XP'_{n+1}(X) + 2P_{n+1}(X) - \fr{1}{n+2}2XP'_{n+1}(X) - \fr{1}{n+2}(1+X^2)P''_{n+1}(X))
Jregarde comment bidouiller
Pour tout n entier on définit la propriété
Soit
On a par hypothèse
On dérive
Jregarde comment bidouiller
posté le 31/05/2008 à 19:32re : Polynômes et récurrence
posté par : Skops Mince, pas eu le temps d'essayer Leibniz, faut que je parte 
Je verrai ca plus tard
Merci
Skops
Je verrai ca plus tard
Merci
Skops
posté le 31/05/2008 à 23:51re : Polynômes et récurrence
posté par : PeceOn note =\Bigsum_{\tiny 0\leq k\leq n}a_kX^k)
AlorsP_n^{''}))
Donc(k+1)a_{k+2}X^k + \Bigsum_{\tiny 2\leq k\leq n}k(k-1)a_kX^k))
Des simplifications devraient donner la solution. Ok, c'est pas très élégant, mais le fait de donner la valeur du coefficient dominant me fait penser à utiliser des grosses sommes ^^ . Mais il existe sûrement une solution plus raffinée... que je n'ai pas le temps de chercher pour le moment :p .
Alors
Donc
Des simplifications devraient donner la solution. Ok, c'est pas très élégant, mais le fait de donner la valeur du coefficient dominant me fait penser à utiliser des grosses sommes ^^ . Mais il existe sûrement une solution plus raffinée... que je n'ai pas le temps de chercher pour le moment :p .
posté le 01/06/2008 à 12:34re : Polynômes et récurrence
posté par : Skops Je n'aboutis à rien avec leibniz
Skops
Skops
posté le 02/06/2008 à 15:07re : Polynômes et récurrence
posté par : 
Camélia (Correcteur)Bonjour Skops
C'est ton idée initiale qui a l'air la plus prometteuse. Résoudre l'équation différentielle 2xy-(1+x2)y'=Pn+1 et voir comment elle fait pour avoir pour solution un polynôme de degré n... (Mais je ne l'ai pas fait, donc sans garantie!)
C'est ton idée initiale qui a l'air la plus prometteuse. Résoudre l'équation différentielle 2xy-(1+x2)y'=Pn+1 et voir comment elle fait pour avoir pour solution un polynôme de degré n... (Mais je ne l'ai pas fait, donc sans garantie!)
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