Forum : translations - homothéties :
Droites parallèles

Re-salut avec un nouvel exercice :

Soit A et B deux pts fixes et I un pt donné du segment [AB],
On trace les cercles C et C' de diamètres respectifs [AI] et [IB].
Une tangente exterieure commune à ces deux cercles touche le cercle C en M et C' en M'.

Les droites (AM) et (BM') se coupent en P.

1° En utilisant l'homothetie de centre I qui transforme C en C', montrer que les droites (AM) et (IM') sont parallèles.
en deuire que (PA) et (PB) sont orthogonales.

2° Quel est l'ensemble des pts P lorsque I decrit le segment [AB]?

Bonjour,

(1) Soit O le centre de C, et O' le centre de C'.

(2) L'homothétie h de centre I transformant C en C' transforme :
A en B
O en O'.

(3) Par définition de la tangente, les droites (OM) et (O'M') sont perpendiculaires à (AB) donc parallèles entre elles.

(4) Soit N l'image de M par h.
(i) N appartient à C'
(ii) (OM) est perpendiculaire à (AB), donc (O'N) aussi.
Finalement, N est le point diamétralement opposés à M' sur C'.
I est le milieu de [M'N].

(5) Donc le quadrilatère IM'BN, dont les diagonales se coupent en leur milieu, est un parallélogramme.

(6) L'homothétie h transforme (AM) en (BN).
Donc (AM) // (BN).
Or (BN) // (IM') d'après le point précédent.
Donc (AM) // (IM')

Sauf erreur !

Puisque le triangle IM'B est inscrit dans le cercle de diamètre [IB], le triangle IM'B est rectangle en M', et :
(IM') est perpendiculaire à (M'B).

En se servant de la question précédente, on en déduit :
(AM) est perpendiculaire à (M'B)
soit : (PA) et (PB) sont orthogonales

bonjour Cheikhouna et Nicolas
il manque un maillon en (4)(ii)
[O'N] est l'image de [OM] et lui est donc parallèle; (NO') étant parallèle à (OM), elle est comme elle perpendiculaire à (MM')

MERCI beaucoup à vous !!

J'ai compris maintenant

Pour ma part, je t'en prie.