Forum : algèbre :
Produit scalaire

Salut, il a quelque chose que je n'arrive pas à faire:

(P,Q)([X])², on pose (P/Q)=(₀)¹P(t)Q(t)dt

Alors j'ai mintrer que c'était un produit scalaire(symétrique, positif, bilinéaire et définie)

Mais on me demande d'interpréter d à l'aide de la distance d'un vecteur à un sous-espace vectoriel de E(E=-espace vectoriel) à préciser.

d=inf_(a,b)²(₀)¹(t²-(at+b))²dt.

Pouvez vous m'aidez merci d'avance.

Bonjour.

Et bien, c'est la distance (au sens de ce produit scalaire) entre le polynome P(t) = t², et le sous-espace des polynomes de degré au plus 1.

c'est d(Id²,F) avec F=vect(f₁,f₂) où f₁:t-->t et f₀:t-->1, oui?

Oui, c'est cela, si tu appele Id² le polynome t². (fais attention a tes notations, ce sont des polynomes, pas des fonctions )

ok, merci beaucoup

Et une dernière comment je fais pour déterminer la valeur de d?

car je trouve que d=||t²||²-||-t+1/6||² t[0,1].

Mais je ne sais plus comment on calcul sa.

Tu détermine a et b, en calculant le projeté orthogonal de t² sur vect{1, t}, puis une fois a et b trouvé, tu n'as plus qu'a calculer d, en remplacant a et b dans l'intégrale.

je trouve en calculant l'intégrale : 1/5+1/2+2/9-1/6+1/36=13/12, mais est-ce que la borne inf change quelque chose au résultat?

Bonjour
attention, depuis le début vous parlez tous les deux de distance, mais c'est le carré de la distance, qu'on a ici.