Forum : analyse :
Suite et limite

Bonjour,

J'ai vraiment du mal à faire cet exercice. C'est sur les suites et les limites. Je vais vous donner l'énoncé puis les idées de ce que j'ai commencé à faire.


Soit n un entier naturel non nul, et P_n une fonction polynomiale telle que Pⁿ=Xⁿ+X^n-1+X^n-2+...+X-1.

1) Montrer que dans R^*+, P_n admet une unique racine notée x_n.
2) Montrer que P_n+1(x_n) > 0 et en déduire le sens de variation de la suite (x_n)_n.
3) Montrer que la suite (x_n)_n est convergente.
4) Montrer que la suite (x_nⁿ⁺¹)_n converge vers 0.
5) Simplifier l'expression de P_n(x) pour x élément de [0,1[. Déterminer la limite de la suite (x_n)_n.


J'ai voulu utiliser le théorème qui dit que "une fonction polynôme P de C dans C de degré n (n non nul) admet exactement n racines dans C".
Mais le problème c'est que là, il faut montrer que P admet une unique racine dans R^*+ ...
Je me suis dit qu'on pouvait étudier les deux cas : lorsque n est pair ou lorsque n est impair... Mais je crois pas que ça mène à grand chose...

Finalement, je suis plus bloqué qu'autre chose et chaque question me paraît encore plus difficile que la suivante.

Merci beaucoup d'avance si vous pouvez me donner quelques idées.

Bonjour,

1) J'imagine que tu plaisantes. C'est de niveau lycée.
Sur R+*, Pn est une somme de fonctions strictement croissantes et d'une fonction croissante.
Donc Pn est strictement croissant sur R+*
Or Pn vaut -1 en 0 et tend vers +oo en +oo
Donc ...

Désolé :
ur R+*, Pn est une somme de fonctions strictement croissantes et d'une fonction constante.

D'accord, j'avais vu pour le sens de variation. Mais comme Pn vaut -1 en 0, est-ce que cela signifie qu'il admet une unique racine sur R+* ? Et cette unique racine xn vaut donc -1 ?

Pn est une fonction strictement croissante sur R+, strictement négative en 0, et strictement positive en 2.
Elle admet donc une unique racine sur R+, strictement comprise entre 0 et 2.

Cette unique racine ne peut pas être égale à -1, puisqu'on cherche les racines sur R+* ! -1 n'appartient pas à R+*

Ah oui pardon... !
Merci je comprend déjà mieux. Je vais faire un tableau de variation de P pour y voir plus clair.

Et du coup, pour montrer que P_n+1(x_n) > 0, est-ce que cela suffit de dire que :
a) la racine x_n de P_n est unique et elle est strictement positive
b) P_n étant strictement croissant sur R+*, le polynome P_n+1 l'est aussi donc on a bien P_n+1(x_n) > 0 ?

Je ne comprends pas la fin de ton raisonnement ("donc on a bien..."). Peux-tu détailler ?

Comme la racine est strictement positive, et le polynôme P_n+1 strictement croissant sur l'intervalle R*+, tout est positif alors on peut conclure que le produit P_n+1 * (x_n) est lui aussi positif (strict)...

Je ne comprends pas ce que tu dis.

Tu dis : a est positif, f est croissante, donc f(a) est positif.

Non !
Contre-exemple : f(x) = -1/x ; f est croissante, mais, quelque que soit a positif, f(a) est toujours négatif

Peux-tu STP proposer un raisonnement qui tient la route ?

Et P_n+1(x_n) n'est pas un produit ! C'est l'image d'un nombre (x_n) par une fonction (P_n+1) !

J'ai confondu les notations.

P_n(x_n) = (x_n)ⁿ + (x_n)^n-1 + (x_n)^n-2 + ... + (x_n) - 1

On peut d'abord montrer que P_n(x_n) > 0 et comme P est croissant, on aura aussi P_n+1(x_n) > 0.

Mais je n'ai pas encore trouver comment faire pour montrer que P_n(x_n) > 0 ...

Non, non, non.

Pn(xn) n'est pas > 0 !
As-tu lu ton énoncé ?
xn est la racine de Pn sur R+*
Donc par définition Pn(xn)=0 !

Par ailleurs, P n'est pas croissant.
P n'est pas une fonction réelle !
(Pn) est une suite de fonctions.
Ce sont les Pn qui sont chacun croissants.

D'accord...

On peut peut-être faire un raisonnement par récurrence pour démontrer ce résultat alors?

Tu es dans quelle classe ?

En PCSI.

2)a) Montrer que






Or est strictement positif, donc le membre de droite aussi.
Donc

Merci... ça paraît simple vu comme ça.

Je sèche encore pour la suite mais je vais continuer de réfléchir.

2)b)

On sait que est strictement croissant sur , et :
- strictement négatif sur ;
- strictement positif sur

Or

Donc
et

La suite est strictement décroissante.

Merci beaucoup pour votre aide.

Pouvez vous me dire si mon raisonnement suivant est correct :

x_n appartient à l'intervalle ]x_n+1,+[, la suite (x_n) est donc minorée.
De plus, (x_n) est strictement croissante.
Alors d'après le théorème de la limite monotone : toute suite réelle décroissante admet une limite, et si elle est minorée, alors cette suite est convergente.

Conclusion : (x_n) est convergente.

Faute de frappe :
De plus, (x_n) est strictement décroissante.

Cela ne convient pas.
En effet, pour qu'une suite soit minorée, il faut que tous ces termes soit supérieurs à une borne FIXE.

Propose autre chose...

Est-ce que la suite (P_n)_n est inférieure ou égale à la suite (x_n)_n ?

Cela n'a aucun sens.
(Pn) est une suite de fonctions.
(xn) est une suite de réels.

Ah oui... du coup on ne peut pas utiliser le théorème des couples de suites monotones (les deux suites doivent être réelles).

Il faut que j'essaie de montrer que (x_n)_n est minorée.

Oui. Et il existe un minorant évident.

On sait que (x_n)_n est strictement positive, et qu'elle est strictement décroissante... donc elle est forcément minorée.

Je ne vois pas ce que la décroissante vient faire ici.
Par définition, les xn sont dans R+*. Donc ils sont minorés par 0.
Or la suite est décroissante.
Donc elle est convergente.

Ensuite, on a :

P_n(x_n) = 0 et P_n+1(x_n) = x_nⁿ⁺¹
et on a vu que x_nⁿ⁺¹ > 0.

Les x_n étant dans R*+, les x_n+1 le sont aussi, ils sont aussi minorés par 0.
Il manque plus qu'à voir si elle est décroissante.

Je ne comprends pas ce que tu fais.
Tu veux montrer que les x_n+1 sont décroissants ?
On l'a démontré à la question précédente ! (mon message de 13h54)

Heu non je veux montrer que la suite (x_nⁿ⁺¹)_n converge vers 0.

D'accord.
Mais dans ce que tu as écris à 18h33, il n'y a rien de neuf.
On sait déjà que les x(n+1) sont positifs, décroissants et convergents.

4)
Les (xn) sont strictement décroissants.
Il est facile de voir que x1 = 1.
Donc x2 < 1

Pour n plus grand que 2 :

Oui, mais les x_nⁿ⁺¹ sont aussi positifs ?

xn est positif, donc xn puissance ce-que-tu-veux est positif !

D'accord...

Je recommence :
En raison de la décroissance de (xn), pour tout n plus grand que 2 :

Or les xn sont positifs :

On élève à la puissance n+1 :

On fait tendre n vers +oo. Comme |x2| < 1, le membre de droite tend vers 0.

5. Reconnaître la somme des termes d'une suite géométrique.

5.

On sait que la suite converge. Soit sa limite.



On reconnaît la somme des termes d'une suite géométrique :

On remplace par :



On fait tendre vers :

Donc

Sa limite est 1/2 ?

En tous cas merci beaucoup pour votre aide, ça m'a permis de mieux comprendre.

Je t'en prie.