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Intégrales

   
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re : Intégrales#msg1901916 Posté le 03-06-08 à 16:32
Posté par ProfilCamélia Camélia Correcteur

Pas de doute: il y a un ennui en 1! Même les énoncés d'examen peuvent être faux! (quoique rarement)
re : Intégrales#msg1901962 Posté le 03-06-08 à 17:33
Posté par ProfilStemba Stemba

\int\frac{1}{x^2+3}dx pas de borne
je pose t=x^2+3 dt=2xdx dx=\frac{dt}{2x} (ici les t et x sont mélanger donc je voie pas)
mais impossible de le faire avec sa, comment faite vous pour trouver quel changement de variable faire?
est ce par intuition?
j'ai tenter aussi une intégration par partie avec u=\frac{1}{x^2+3} et v'=1 mais sa complique plutôt qu'autre chose
re : Intégrales#msg1901965 Posté le 03-06-08 à 17:42
Posté par Profilfusionfroide fusionfroide

Re

En fait, là, ça ressemble un peu à la dérivée de arctan

Il faut bidouiller un peu ...

x^2+3=\frac{1}{3}(\frac{x^2}{3}+1)

Puis on pose X=\frac{x}{\sqrt{3}} (chgt de variable)

On a donc du \frac{1}{3}(X^2+1)
re : Intégrales#msg1902003 Posté le 03-06-08 à 18:22
Posté par ProfilStemba Stemba

merci pour l'aide fusionfroide.
on pose t=\frac{x}{sqrt{3}}=>dt=\frac{sqrt{3}}{3}
I=\frac{1}{3}\int\frac{1}{t^2+1}\frac{sqrt{3}}{3}=\frac{sqrt{3}}{9}\int\frac{1}{t^2+1}=\frac{sqrt{3}}{9}[arctan t]
je trouve sa c'est bon?
re : Intégrales#msg1902007 Posté le 03-06-08 à 18:30
Posté par ProfilStemba Stemba

borne \int_{\frac{a}{sqrt{3}}}^{\frac {b}{sqrt{3}}} après le changement de variable.
re : Intégrales#msg1902177 Posté le 03-06-08 à 19:52
Posté par Profilfusionfroide fusionfroide

Où est passé ton dt ?
re : Intégrales#msg1902388 Posté le 03-06-08 à 21:41
Posté par ProfilStemba Stemba

oups!
dx=\frac{3dt}{sqrt{3}}
I=\frac{1}{3}\int\frac{1}{t^2+1}\frac{3dt}{sqrt{3}}=\frac{1}{sqrt{3}}[arctan t]
la c'est bon je pense?
re : Intégrales#msg1902404 Posté le 03-06-08 à 21:51
Posté par ProfilStemba Stemba

\int_0^{x}\frac{1}{(1+t^2)^2}
je connait une méthode (méthode de mon prof) pour la faire c'est de prendre l'intégrale de \frac{1}{x^2+1}
faire une IPP (en bidouillant on retrouve \int_0^{x}\frac{1}{(1+t^2)^2}et une autre intégrale facile à calculer) mais y'a t'il une autre méthode car la bon faut le savoir sinon c'est impossible à deviner!

j'ai essayer une IPP, changement de variable je voie pas du tout comment faire...
re : Intégrales#msg1902412 Posté le 03-06-08 à 21:57
Posté par Profilfusionfroide fusionfroide

J'ai écris des horreurs : x^2+3\neq \frac{1}{3}(\frac{x^2}{3}+1

Tu as posé t=\frac{x}{\sqrt{3}}

I=\Bigint \frac{1}{x^2+3}dx=\Bigint \frac{1}{3(\frac{x^2}{3}+1)}dx

Donc dt=\frac{dx}{\sqrt{3}}.

Continue.

A la fin, n'oublie pas de remplacer t !
re : Intégrales#msg1902417 Posté le 03-06-08 à 21:59
Posté par Profilfusionfroide fusionfroide

Citation :
j'ai essayer une IPP, changement de variable je voie pas du tout comment faire...


Oui y'a une astuce ^^

Si tu notes I_2=\Bigint_0^x \frac{1}{(t^2+1)^2}dt et I_1=\Bigint_0^x \frac{1}{t^2+1}dt, alors calcule I_2-I_1

Fais déjà ça ^^
re : Intégrales#msg1902457 Posté le 03-06-08 à 22:37
Posté par ProfilStemba Stemba

heu oui je me suis tromper dans dt
dt=\frac{dx}{sqrt{3}}=>dx=sqrt{3}
I=\frac{sqrt{3}}{3}[arctan(\frac{x}{sqrt{3}})]
est ce bon?
dit moi si je trompe mais vu que tu me rappelle qu'il faut remplacer t, Camélia a t'elle fait donc une erreur à 14h07, le u n'est pas remplacer?

et merci beaucoup pour ton aide Fusionfroide.
re : Intégrales#msg1902462 Posté le 03-06-08 à 22:40
Posté par Profilfusionfroide fusionfroide

Non, car dans le message de Camélia, il y a les bornes !

Ici, tu cherches une primitive en fonction de t

PS : je te fais confiance pour les calculs ...
re : Intégrales#msg1902466 Posté le 03-06-08 à 22:42
Posté par Profilfusionfroide fusionfroide

en fait ton calcul est correct
re : Intégrales#msg1902477 Posté le 03-06-08 à 22:50
Posté par ProfilStemba Stemba

ok je savait pas la différence avec les bornes.
pour le calcul c'est bizarre j'ai trouver la réponse dans mon cour (j'ai juste la réponse de fin pas le développement) et c'est \frac{1}{sqrt{3}}[arctan(\frac{x}{sqrt{3}})] mais bon j'ai dût mal écrire ^^
re : Intégrales#msg1902480 Posté le 03-06-08 à 22:52
Posté par Profilfusionfroide fusionfroide

bah oui c'est bon ... \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}
re : Intégrales#msg1902532 Posté le 04-06-08 à 00:28
Posté par ProfilStemba Stemba

ha bha oui ^^
re : Intégrales#msg1902786 Posté le 04-06-08 à 13:41
Posté par ProfilStemba Stemba

je comprend pas l'astuce, sa me fait \int_0^{x}\frac{1}{(t^2+1)^2}-[arctan t]_0^{x}
autre exercice:
\int_0^{1}\frac{1}{e^x+1}dx
je pose t=e^x=>dt=e^xdx=>dx=\frac{dt}{t}
\int_1^{e}\frac{1}{t(t+1)}dt
je voie pas quoi faire avec sa :/
re : Intégrales#msg1902862 Posté le 04-06-08 à 14:38
Posté par ProfilNightmare Nightmare Moderateur

Salut

Une décomposition en élément simple?

Sinon, tu peux remarquer que 3$\rm \frac{1}{e^{x}+1}=1-\frac{e^{x}}{e^{x}+1}

La deuxième est alors de la forme u'/u avec u strictement positive qui s'intègre en ln(u)+C

re : Intégrales#msg1902937 Posté le 04-06-08 à 15:16
Posté par ProfilStemba Stemba

J'ai fait la DES:
\frac{1}{t(t+1)}=\frac{a}{t}+\frac{bt+c}{t+1}
(f(x)t)=a+\frac{(bt+c)t}{t+1}=\frac{1}{(t+1)}
pour t=0 a=1
(f(x)(t+1))=\frac{t+1}{t}+(bt+c)=\frac{1}{t}
pour t=1 b+c=-1
je suis bloquer la je peu pas déterminer b et c, j'arrive jamais à faire une DES, pouvais vous m'expliquer svp?(mon soucis est souvent que je peu pas éliminer une variable car je me retrouverai avec un dénominateur =0)
re : Intégrales#msg1902939 Posté le 04-06-08 à 15:18
Posté par ProfilNightmare Nightmare Moderateur

Déjà, revois le format de tes DES !

Ta fraction se décompose en 3$\rm \frac{a}{t}+\frac{b}{t+1} et non ce que tu as écrit !
re : Intégrales#msg1902951 Posté le 04-06-08 à 15:24
Posté par ProfilStemba Stemba

je penser que je devais regarder le degré de t(t+1) et mettre le nombre de variable en fonction de sa
donc la t²,t,1 mais j'ai 2 division donc je met A,(Bt+c) peut tu m'expliquer comment je place les variables j'ai aucun exemple dans mon cour
re : Intégrales#msg1903009 Posté le 04-06-08 à 16:06
Posté par ProfilStemba Stemba

c'est bon j'ai trouver sur un site comment sa marcher.
re : Intégrales#msg1903456 Posté le 04-06-08 à 19:39
Posté par ProfilStemba Stemba

(f(x)t)->pour t=0 A=1
(f(x)(t+1))->pour t=1 B=-1
\int_1^{e}\frac{1}{t}-\int_1^{e}\frac{1}{t+1}=[ln t-ln(t+1)]_1^{e}=ln e-ln(e+1)-(ln1-ln2)=1-1+ln2=ln2
voilà je pense que c'est bon?
re : Intégrales#msg1903699 Posté le 04-06-08 à 21:35
Posté par ProfilNightmare Nightmare Moderateur

Pourquoi est-ce que ln(e+1)=1 ?
re : Intégrales#msg1903700 Posté le 04-06-08 à 21:38
Posté par ProfilStemba Stemba

j'avais fait ln e+ln 1.. erreur :/
donc I=ln2-ln(e+1)
re : Intégrales#msg1903784 Posté le 04-06-08 à 23:25
Posté par ProfilStemba Stemba

Merci nightmare pour l'aide.
\int_{\frac{pi}{6}}^{\frac{pi}{3}}\frac{dx}{sinx+sin2x}
j'ai comprit les IPP, DES et changement de variable j'attaque les règles de bioche.
d'abord trouver le changement de variable, ici sa sera u(t)=cos t
car \frac{d(-x)}{sin(-x)+sin(-2x)}=\frac{-d(x)}{-(sinx+sin2x)}=\frac{dx}{sinx+sin2x}
Je continue dans un prochain poste.
re : Intégrales#msg1903804 Posté le 04-06-08 à 23:49
Posté par ProfilStemba Stemba

petite paranthése je me suis entrainer sur un site avec qcm et d'après lui \frac{sin x}{cos 2x}
le changement de variable est cos x alors que moi je trouve tan x car \frac{sin(pi+x)}{cos2(pi+x)}=\frac{-sin x}{-cos2x}=\frac{sin x}{cos 2x}
je me trompe ou c'est le site?
re : Intégrales#msg1903806 Posté le 04-06-08 à 23:51
Posté par ProfilNightmare Nightmare Moderateur

Il ne faut pas voir les règle de bioches partout !

Ici on pose t=cos(x) car dt=-sin(x)dx donc le sinus au numérateur "disparait"

re : Intégrales#msg1903971 Posté le 05-06-08 à 12:46
Posté par ProfilStemba Stemba

u=cosx dt=-sinx
\frac{-(-sinx)}{sin^2 x+sin^2 2x}=\frac{-dt}{1-cos^2 x+2(1-cos^2x)}=\frac{-dt}{1-t^2+2(1-t^2)}=\frac{-dt}{3-3t^2}=\frac{1}{3}\int_{\frac{sqrt{3}}{2}}^{\frac{1}{2}}\frac{-dt}{-(-1+t^2)}=\frac{1}{3}\int_{\frac{sqrt{3}}{2}}^{\frac{1}{2}}\frac{dt}{(-1+t^2)}
=\frac{1}{3}\int_{\frac{sqrt{3}}{2}}^{\frac{1}{2}}\frac{dt}{(t-1)(t+1)}
maintenant une petite DES:
\frac{dt}{(t-1)(t+1)}=\frac{a}{t-1}+\frac{b}{t+1}
(f(t)(t-1))->pour t=1 a=\frac{1}{2}
(f(t)(t+1))->pour t=1 b=-\frac{1}{2}
\frac{1}{3}\int_{\frac{sqrt{3}}{2}}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{2(t-1)}+\frac{1}{3}\int_{\frac{sqrt{3}}{2}}^{\frac{1}{2}}\frac{-1}{2(t+1)}=\frac{1}{6}\int_{\frac{sqrt{3}}{2}}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{(t-1)}+\frac{1}{6}\int_{\frac{sqrt{3}}{2}}^{\frac{1}{2}}\frac{-1}{(t+1)}
=\frac{1}{6}[ln(t-1)-ln(t+1)]_{\frac{sqrt{3}}{2}}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{6}(ln(\frac{1}{2}-1)-ln(\frac{1}{2}+1)-ln(\frac{sqrt{3}}{2}-1)+ln(\frac{sqrt{3}}{2}))
voilà est ce bon (même si j'y crois pas trop)?
re : Intégrales#msg1903982 Posté le 05-06-08 à 13:07
Posté par ProfilStemba Stemba

à la fin c'est ln(\frac{sqrt{3}}{2}+1)

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