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#msg1899568 Posté le 01-06-08 à 13:09
Posté par ProfilStemba Stemba

Bonjour,
Je m'entraîne sur les intégrales, je posterais donc des séries d'exercices .

Exercice 1 (décomposition en éléments simples)

calculer \int_0^{2}\frac{x^4}{(x+1)^2(x^2+1)}

je commence par décomposer en éléments simples:
\frac{x^4}{(x+1)^2(x^2+1)}=\frac {A1}{(x+1)^2}+\frac {A2}{(x+1)}+\frac {Cx+D}{(x^2+1)}

maintenant je détermine A1,A2,C et D:

(f(x)(x+1)^2)=\frac{x^4}{(x^2+1)}= A1+ A2(x+1)+\frac {(Cx+D)(x+1)^2}{(x^2+1)}
pour x=-1 A1=\frac{1}{(1+1)}=\frac {1}{2}

(f(x)(x+1))=\frac{x^4}{(x+1)(x^2+1)}=\frac {A1}{(x+1)}+ A2+\frac {(Cx+D)(x+1)}{(x^2+1)}

la je comprend pas car j'ai x+1 au dénominateur de A1 et de x^4, comment avoir une expression avec juste A2 avec sa vu que je peu pas mettre x=-1?

ma méthode est telle correcte?

merci d'avance pour votre aide.

(ps: la réponse ne m'intéresse pas, je veux juste comprendre la méthode et les techniques)
re : Intégrales#msg1899572 Posté le 01-06-08 à 13:10
Posté par Profilmonrow monrow Posteur d'énigmes

Salut !

tu peux d'abord trouver C et D. Evalue après en 0

re : Intégrales#msg1899573 Posté le 01-06-08 à 13:10
Posté par ProfilNightmare Nightmare Moderateur

Bonjour,

le format de ta DES n'est pas bon, le degré de ton numérateur est égal au degré de ton dénominateur. Il y a donc une partie entière non nulle.
re : Intégrales#msg1899576 Posté le 01-06-08 à 13:13
Posté par Profilmonrow monrow Posteur d'énigmes

ah oui en effet, faut chercher d'abord la partie entière !

Salut Jord !
re : Intégrales#msg1899589 Posté le 01-06-08 à 13:24
Posté par ProfilStemba Stemba

Alors si j'ai bien comprit je ne peu pas utiliser la DES car je n'est pas Deg P < DEG Q?
re : Intégrales#msg1899593 Posté le 01-06-08 à 13:25
Posté par Profilmonrow monrow Posteur d'énigmes

cherche d'abord la partie entière, après tu fais la DES
re : Intégrales#msg1899693 Posté le 01-06-08 à 14:19
Posté par ProfilStemba Stemba

je comprend pas trop ce que vous voulez dire par partie entière mais si j'ai bien comprit mon cour vu que deg Pdeg Q je fait la division euclidienne de P par Q et ensuite je me ramène sur
f(x)=h(x)+\frac {R(x)}{Q(x)} ?
re : Intégrales#msg1899703 Posté le 01-06-08 à 14:26
Posté par Profilmonrow monrow Posteur d'énigmes

Oui c'est ça, effectue la division euclidienne pour trouver h(x).
re : Intégrales#msg1899725 Posté le 01-06-08 à 14:47
Posté par ProfilStemba Stemba

j'ai fait la division euclidienne, je trouve:
h(x)=1-\frac {2}{x}+\frac {2}{x^2}-\frac {2}{x^3}
R(x)=2+\frac {2}{x}+\frac {2}{x^2}-\frac {2}{x^3}

=> f(x)=1-\frac {2}{x}+\frac {2}{x^2}-\frac {2}{x^3}+\frac {2}{x}+\frac {2+\frac {2}{x}+\frac {2}{x^2}-\frac {2}{x^3}}{x^4+2x^3+2x^2+2x+1}

est ce sa que je doit trouver?
faut que je simplifie pour ensuite faire mon intégrales?
re : Intégrales#msg1899754 Posté le 01-06-08 à 15:10
Posté par Profilmonrow monrow Posteur d'énigmes

h est un polynôme !!!
re : Intégrales#msg1899773 Posté le 01-06-08 à 15:22
Posté par ProfilStemba Stemba

je fait la division euclidienne de p(x)=x^4 par q(x)=x^4+2x^3+2x^2+2x+1 donc je trouve le h(x) noté ci-dessus, je vois pas ce que je pourrai trouver d'autre.
je voie pas mon erreur :/
re : Intégrales#msg1899782 Posté le 01-06-08 à 15:30
Posté par Profilmonrow monrow Posteur d'énigmes

3$\rm\frac{x^4}{(x+1)^2(x^2+1)}=1-\frac{2x^3+2x^2+2x+1}{(x+1)^2(x^2+1)}
re : Intégrales#msg1899935 Posté le 01-06-08 à 16:41
Posté par ProfilStemba Stemba

je comprend plus la, dans mon cour il faut faire la division euclidienne de P par Q ce que j'ai fait, pourquoi est ce faut?
re : Intégrales#msg1899938 Posté le 01-06-08 à 16:43
Posté par ProfilStemba Stemba

Ouh non c'est bon je viens de comprendre
merci je continue et je reposte ensuite merci !
re : Intégrales#msg1900137 Posté le 01-06-08 à 18:27
Posté par ProfilStemba Stemba

h(x)=1 (on prend que la partie polynômiale de la division euclidienne)
R(x)=2x^3+2x^2+2x+1
=> f(x)=1-\frac {2x^3+2x^2+2x+1}{(x+1)^2(x^2+1)}

décomposition en éléments simples:
\frac {A1}{(x+1)^2}+\frac {A2}{(x+1)}+\frac {Bx+C}{(x^2+1)}

(f(x)(x+1)^2)=A1+A2(x+1)+\frac {(Bx+C)(x+1)^2}{(x^2+1)}=\frac{2x^3+2x^2+2x+1}{(x^2+1)}

pour x=-1 A1=-\frac {2(-1)^3+2(-1)^2+2(-1)+1}{(-1)^2+1}=\frac {1}{2}


(f(x)(x+1))=\frac {1}{2(x+1)}+A2+\frac {(Bx+C)(x+1)}{(x^2+1)}=-\frac{2x^3+2x^2+2x+1}{(x+1)(x^2+1)}

je rencontre le même problème qu'avant

(f(x)(x^2+1))=\frac {(x^2+1)}{2(x+1)^2}+\frac {A2(x^2+1)}{(x+1)}+Bx+C=-\frac {2x^3+2x^2+2x+1}{(x+1)^2}

pareil pour celui la...

comment trouver A2 et Bx+C alors que je ne peu pas avoir qu'une inconnue
Pour A2 je peut pas virer Bx+C car -1 est impossible vu que le dénominateur serait 0 pour A1, même soucis pour Bx+C.
comment faire?
re : Intégrales#msg1900324 Posté le 01-06-08 à 19:47
Posté par ProfilStemba Stemba

en attendant d'avoir de l'aide pour l'exercice 1 je passe à l'autre

Exercice 2:
Calculer
1/\int_1^{e}x^2 lnx dx
2/\int_1^{2}\frac {1}{x(1+lnx)^3} dx

1/ u=ln x  v'=x^2
   u'=\frac{1}{x}  =\frac{x^3}{3}

\int_1^{e}x^2 lnx dx=[\frac {x^3}{3}ln x]_1^{e} -\frac {1}{3}\int_1^{e}x^2
=\frac {e^3}{3}ln e -\frac {1}{3}[\frac {x^3}{3}]_1^{e}=\frac {e^3}{3}-\frac {e^3}{3}+\frac {1}{9}=\frac {1}{9}

si y'a une erreur merci de m'informer
re : Intégrales#msg1900594 Posté le 01-06-08 à 23:02
Posté par ProfilStemba Stemba

3/ Calculer I1=\int_0^{x}\frac {1}{t^2+1}dt
u=\frac {1}{t^2+1}dt v'=1
u'=\frac {-2x}{(t^2+1)^2}dt v=x

I1=[\frac {x}{t^2+1}dt]_0^{x}-\int_0^{x}\frac{-2x^2}{(1+x^2)^2}
je voie pas comment résoudre cette intégrale, peut importe le nombre d'intégration je n'obtiendrai pas de primitive !
Help :'(
re : Intégrales#msg1900600 Posté le 01-06-08 à 23:11
Posté par Profilfusionfroide fusionfroide

Salut

\Bigint_0^x \frac{1}{1+t^2}dt=\[arctan(t)\]_0^x
re : Intégrales#msg1900616 Posté le 01-06-08 à 23:33
Posté par ProfilStemba Stemba

ha je suis bette merci.
I2=\int_0^{x}\frac{1}{(x^2+1)^2}dx

décomposition en éléments simples:
P<Q donc->
\frac{1}{(x^2+1)^2}dx=\frac{A1}{(x^2+1)^2}+\frac{A2+B}{(x^2+1)}

(f(x)(x^2+1)^2)=A1+(A2+B)(x^2+1)=1

et la re blocage avec cette méthode, quelqu'un pourrai m'expliquer la méthode de décomposition en éléments simples avec un exemple concret car j'ai juste ma formules dans mon cour et aucun exemple...
re : Intégrales#msg1900625 Posté le 01-06-08 à 23:45
Posté par Profilfusionfroide fusionfroide

Tu es sûr que les deux numérateurs sont des constantes ?
re : Intégrales#msg1900626 Posté le 01-06-08 à 23:46
Posté par ProfilStemba Stemba

c'est le ta méthode de la décomposition en éléments simples donc normalement oui.
re : Intégrales#msg1900644 Posté le 02-06-08 à 00:36
Posté par Profilfusionfroide fusionfroide

Salut

Déjà j'écrirai plutôt I_2=\Bigint_0^x \frac{1}{(1+t^2)^2}dt

Tu peux poser ensuite t=tan(u)
re : Intégrales#msg1900649 Posté le 02-06-08 à 00:43
Posté par Profilfusionfroide fusionfroide

Sinon, calcule I_2-I_1, puis IPP avec u=t et v'=t/(1+t²)²
re : Intégrales#msg1900669 Posté le 02-06-08 à 07:06
Posté par Profilmikayaou mikayaou

pour la 2° c'est "évident"

regarde ce que donne (1+lnx)'...

2° = ( 1 - 1/(1+ln2)²)/2

sauf erreur

re : Intégrales#msg1900954 Posté le 02-06-08 à 16:11
Posté par ProfilStemba Stemba

Help quelqu'un pourrait m'expliquer la décomposition en éléments simples:
je sait le faire quand on est dans un cas ou y'a aucun soucis avec le dénominateur qui serai à 0 mais dans le cas contraire je ne vois absolument pas comment faire et j'ai personne dans mon entourage sachant le faire :/

Pour l'exemple: \int_0^{x}\frac {1}{(1+t^2)^2) dt
je sait qui a une autre façon de le faire sans utiliser cette méthode mais je veux comprendre comment faire avec cette méthode !
bon je refait et explique clairement mon problème.

P<Q donc:
(je prend comme variable at+b et ct+d car le degré du dénominateur est 4, je fonctionne comme sa est ce une erreur *degré 4 = 4 variable et vu que j'ai 2 divisions je doit mettre 2 variables à chaque numérateurs de la façon ax+b *?)

\frac {1}{(1+t^2)^2}=\frac{at+b}{(t^2+1)^2}+\frac{(ct+d)}{(t^2+1)}

(f(x)(t^2+1)^2)=(at+b)+(ct+d)(t^2+1)=1

si je prend x=0 j'ai b+d=1 sa m'avance pas :/
(f(t)(t^2+1))=\frac{at+b}{(t^2+1)}+(ct+d)=\frac{1}{t^2+1}

si quelqu'un peu m'accorder un peu de son temps pour m'expliquer clairement avec cette exemple comment fonctionne cette méthode je lui en serai fortement reconnaissant.
re : Intégrales#msg1900979 Posté le 02-06-08 à 16:24
Posté par ProfilCamélia Camélia Correcteur

Bonjour

Ton exemple n'a pas de sens! la fraction est déjà décomposée!
re : Intégrales#msg1901066 Posté le 02-06-08 à 17:39
Posté par ProfilStemba Stemba

j'arrive pas à voir l'évidence pour \int_1^{2}{1}{x(1+ln x)^3}
si j'avais (1+ln x)^2 à la place du cube, ce qui donnerai la forme \frac{u'}{u^2}
mais je ne suis pas dans ce cas, comment faite vous pour trouver sa?
re : Intégrales#msg1901070 Posté le 02-06-08 à 17:41
Posté par ProfilStemba Stemba

\int_1^{2}\frac{1}{(1+lnx)^3} plutôt
re : Intégrales#msg1901458 Posté le 02-06-08 à 22:18
Posté par ProfilStemba Stemba

J'ai du mal avec les changements de variable, si quelqu'un pouvais m'expliquer point par point sur cette exemple que j'ai tenter de faire:
\int_0^{1}\frac{t}{(2+t^2)^2)}
je pose u=2+t^2=>du=2tdt
\int_0^{1}\frac{t}{(2+t^2)^2)}=\int_2^{3}2t\frac{t}{(u)^2}
et je voie pas comment continuer
re : Intégrales#msg1901764 Posté le 03-06-08 à 14:04
Posté par ProfilStemba Stemba

Je pense avoir trouver, dite moi si je me trompe.
\int_0^{1}\frac{tdt}{(2+t^2)^2}
je pose u=t²+2 du=2tdt sqrt t^2=sqrt{u-2}=t dt=\frac{du}{2sqrt{u-2}}
dt=\int_2^{3}\frac{sqrt{u-2}}{(u)^2}\frac{du}{2sqrt{u-2}}=\int_2^{3}\frac{1}{(u)^2}\frac{1}{2}du=\frac{1}{2}\int_2^{3}\frac{1}{u^2}
=\frac{1}{2}[-\frac{1}{u}]_2^{3}=\frac{1}{2}(-\frac{1}{3}+\frac{1}{2})=\frac{1}{12}
est ce bon, la façon de procéder est t'elle bien?
re : Intégrales#msg1901766 Posté le 03-06-08 à 14:07
Posté par ProfilCamélia Camélia Correcteur

Bonjour

Tu as un mélange de u et de t.

u=(2+t2) du=2tdt, donc tdt=du/2
u(0)=2, u(1)=3

\Bigint_0^1\frac{t\,dt}{(2+t^2)^2}=\Bigint_2^3 \frac{du}{2u^2}=\frac{-1}{2u}\]_2^3=-\frac{1}{6}+\frac{1}{4}
re : Intégrales#msg1901778 Posté le 03-06-08 à 14:23
Posté par ProfilStemba Stemba

Merci Camélia.
I=\int_1^{2}\frac{1}{xlnx}dx
on me demande de faire le changement de variable je vois pas l'intérêt vu que:
I=\int_1^{2}\frac{\frac{1}{x}}{\frac{lnx}{1}}dx donc on a la forme \frac {u'}{u}
qui est =ln u donc I=[ln u]_1^{2}=ln2
je me trompe?
re : Intégrales#msg1901780 Posté le 03-06-08 à 14:26
Posté par ProfilCamélia Camélia Correcteur

En fait quand tu écris les choses sous cette forme, tu fais sans le dire le changement de variable! Tu viens d'écrire que c'est de la forme u'/u!
re : Intégrales#msg1901781 Posté le 03-06-08 à 14:28
Posté par Profilfusionfroide fusionfroide

N'aurait-on pas plutôt I=[ln(ln(u))]_1^2 ?
re : Intégrales#msg1901783 Posté le 03-06-08 à 14:29
Posté par Profilfusionfroide fusionfroide

J'ai rien dit ^^
re : Intégrales#msg1901784 Posté le 03-06-08 à 14:30
Posté par Profilfusionfroide fusionfroide

Mais y'a un problème quand même pour le résultat ...
re : Intégrales#msg1901794 Posté le 03-06-08 à 14:41
Posté par ProfilCamélia Camélia Correcteur

Tu as raison FF! je n'ai pas tout lu les bornes ont des ennuis...
re : Intégrales#msg1901849 Posté le 03-06-08 à 15:30
Posté par ProfilStemba Stemba

Pour l'exo 2 donner avant je procède de la même manière
I=\int_1^{2}\frac{dx}{x(1+lnx)^3}=\int_1^{2}\frac{\frac{1}{x}dx}{(1+lnx)^3}
de la forme \frac {u'}{u^n}=-\frac{1}{n-1}*\frac{1}{u^{n-1}}
I=[\frac{1}{2(1+ln x)^2}]_1^{2}=-\frac{1}{2(ln2+1)^2}+\frac{1}{2}
re : Intégrales#msg1901851 Posté le 03-06-08 à 15:32
Posté par ProfilCamélia Camélia Correcteur

re : Intégrales#msg1901854 Posté le 03-06-08 à 15:34
Posté par ProfilStemba Stemba

Pourquoi y a t'il un problème avec le résultat fusionfroide?
je cherche mais je ne trouve pas d'erreur
re : Intégrales#msg1901860 Posté le 03-06-08 à 15:44
Posté par ProfilCamélia Camélia Correcteur

Parce que u=ln(x), ln(u)=ln(ln(x))
re : Intégrales#msg1901887 Posté le 03-06-08 à 16:07
Posté par ProfilStemba Stemba

je comprend pas, j'ai fait aucun changement de variable, j'ai simplement récrit la division d'une autre manière, j'ai pas poser u=ln x !
re : Intégrales#msg1901893 Posté le 03-06-08 à 16:10
Posté par ProfilStemba Stemba

1/x(lnx) =(1/x)/ ln x, le faite que je récrit la division signifie que je fait un changement de variable?
re : Intégrales#msg1901894 Posté le 03-06-08 à 16:11
Posté par ProfilCamélia Camélia Correcteur

Peu importe! La primitive est ln(ln(x)) et non ln(x)!
re : Intégrales#msg1901895 Posté le 03-06-08 à 16:11
Posté par Profilfusionfroide fusionfroide

Oui mais là tu as du u, et comme élément différentiel un dx ...

Tu as : \Bigint_1^2 \frac{1}{xln(x)}dx=\Bigint_1^2 \frac{\frac{1}{x}}{ln(x)}dx

C'est de la forme u'/u avec u=ln(x)

Donc une primitive est x->ln(ln(x))
re : Intégrales#msg1901897 Posté le 03-06-08 à 16:13
Posté par ProfilStemba Stemba

Houla je vien de voir, je suis aveugle ...
merci camélia et fusionfroide, mais je change pas mes bornes?
re : Intégrales#msg1901902 Posté le 03-06-08 à 16:17
Posté par ProfilStemba Stemba

ha non c'est bon j'ai comprit ^^
re : Intégrales#msg1901904 Posté le 03-06-08 à 16:19
Posté par ProfilCamélia Camélia Correcteur

Si tu restes sous cette forme, tu exprimes en fonction de x, donc tu ne changes pas de bornes, et tu as un malheur pour ln(ln(1)). Mais le malheur existait depuis l'énoncé, car avec ln(x) au dénominateur tu ne peux pas intégrer de 1 à quelque chose... A moins que tu saches traiter des intégrales généralisées?
re : Intégrales#msg1901911 Posté le 03-06-08 à 16:29
Posté par ProfilStemba Stemba

je ne trouve pas d'intégrales généralisées dans mon cour, j'ai vu intégrale d'une fonction continue par morceaux, intégrale d'une fonction continue, intégration par parties, changement de variable, primitives de fonction rationnelles, fonction circulaires, fonction hyperboliques et intégrales abéliennes.

Mais ceci est un exercice d'examen donc je comprend pas.
re : Intégrales#msg1901914 Posté le 03-06-08 à 16:31
Posté par ProfilStemba Stemba

je suis en 1er année de licence, je sait pas si on voie sa en 1er année.

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