Forum : algèbre :
Colle matrice

Bonjour a tous,

Voila j'ai eu un p'tit exo de colle assez sympathique mais je en sais pas trop par ou m'y prendre et j'aimerais bien avancer un peu avant d'aller voir la prof pour un peu d'aide.

Alors l'exo :

Dim(E)=n , u L(E) , montrons que :

Im(u)=Ker(u) <=> B E / , ou A est carrée d'ordre et inversible .


Donc pour le sens => :

Je prouve avec le théoreme du rang que ,
On a et je montre vite fait que Ker(u) .

Mais ensuite ma prof m'a dit d'utiliser la base incomplete avec :

E=Ker(u)G et on décomposerait les éléments pour répondre a la question ... mais la c'est mystere de l'ouest ^^

Et puis l'autre sens je ne sais pas trop par ou partir... mais la prof m'a dit que c'est plus facile.

Quelqu'un pour m'aiguiller ?? merci d'avance !

Salut

On pose n=2p et F un supplémentaire de Ker(u) dans E.

Soit base de Ker(u). ,où les , est une base de F.

On a

Or est une base de E et la matrice de u dans cette base est

Réciproquement, on a clairement , ie u²=0

et rg(u)=n/2

D'après le théorème du rang Dim(Ker(u))=Dim(E)-rg(u)=p, mais Im(u) est inclu dans Ker(u) d'où Im(u)=Ker(u)

Nightmare, c'est quoi u-1? Il faut préciser que u restreint à F est un isomorphisme non?

C'est vrai. Mon truc pour s'en apercevoir: une fois construite une base de Ker(u), on la complète en une base de E. Et on s'intéresse à . Ce vecteur n'est pas nul sinon serait dans Ker(u). Comme Ker(u)=Im(u), on a donc u(x) est tjs dans ker(u), donc se décompose seulement avec les . Finalement:

si d'où les p premières colonnes de 0.
si et se décompose alors dans la base de ker(u) d'où la matrice p*p nulle en bas à droite.

Ensuite, la restriction de u à tout supplémentaire de ker(u) est un isomorphisme ( c'est justement la formule du rang) donc A est inversible.

Bien entendu, mais il faut laisser un peu Dardentor combler les "trous" dans la démonstration non?

Pour la réciproque, il suffit de constater que le carré de la matrice est nul donc en fait que l'image de u= le noyau de u du coup.

(Ce que j'ai dit donc mais merci de ta confirmation)

No problémo. Je trouvais l'introduction des u-1 restreints à F un peu " cheveux sur la soupe".

Amicalement

Merci a vous 2,

Vous avez répondu a bien plus que j'en espérais. Je dois avouer que je n'aurais pas réussi a combler les "trous" car on ne travaille pas trop sur le théorème de la base incomplète et je ne voyais pas trop comment ça fonctionnait. Mais avec les 2 explications je devrais largement me débrouiller pour pouvoir faire l'exo complètement et avoir tout compris .

merci bye bye ^^

Avec plaisir