Forum : algèbre :
matrice diagonale

Bonsoir à tous , observez cette matrice :

0 0 -1
1 0 0
0 1 0

Son polynome caractéristique est -x³-1 , elle n'est pas diagonalisable dans R mais dans C car ses 3 racines sont -1 , j = -e^2ipi/3 et -j² . ( inutile de vérifier c'est bon ) .

Alors l'ordre de multiplicité de ces 3 racines c'est 1. ma première question est : le sous espace propre correspondant à chaque valeur propre , a t'il obligatoirement une dimension égale à la multiplicité de chaque valeur propre ?

OUI ou NON ?

je vous remercie .

bonjour,
les valeurs propres sont bien -1,-j,-j² (tu as une petite faute de frappe)
la dimension d'un s-espace propre  est inférieure ou égale à l'ordre de multiplicité de la valeur propre correspondante et au moins égale à 1
donc dans le cas de ton exercice les sous espaces sont trois droites vectorielles

Bonjour

citation :
e sous espace propre correspondant à chaque valeur propre , a t'il obligatoirement une dimension égale à la multiplicité de chaque valeur propre ?

Obligatoirement, non.

Si c'est le cas, c'est équivalent à : "l'endomorphisme est diagonalisable", car c'est une CNS de diagonalisabilité.

Si ce n'est pas le cas, c'est donc équivalent à : " l'endomorphisme n'est pas diagonalisable".

Ici, vu que les 3 valeurs propres dans C sont différentes, ça implique la diagonalisabilité, comme l'indique Veleda.

en fait à quelles conditions strictes sur les racines la matrice est diagonalisable ?

et également dans quelle condition peut on se permettre de donner une matrice diagonale équivalente uniquement composée des valeurs propres sur sa diagonale ?

pour que la matrice soit diagonalisable il faut et il suffit que pour chaque valeur propre la dimension du sous espace correspondant soit égale à l'ordre de multiplicité de

* La matrice est diagonalisable si et seulement si le sous espace propre correspondant à chaque valeur propre a   une dimension égale à la multiplicité de chaque valeur propre.

Cette condition est réalisée dans le cas (comme ici) où, dans un espace de dimension n, les n valeurs propres sont toutes différentes. C'est une condition suffisante (qu'on utilise fréquemment), mais pas nécessaire (l'identité n'a que 1 comme valeur propre, d'ordre n).

*

citation :
dans quelle condition peut on se permettre de donner une matrice diagonale équivalente uniquement composée des valeurs propres sur sa diagonale ?

Exactement dans le même cas, puisque cela veut dire que la matrice est diagonalisable.

**Il y a un autre théorème qui donne une CNS de diagonalisation d'un endomorphisme (ou une matrice): Il existe un polynôme scindé à racines simples qui annule l'endomorphisme (en dimension finie). Mais je ne sais pas si tu as déjà travaillé sur ce sujet.

d'accord c'est clair mais alors prenez la matrice que j'ai donné au 1er message , dans la correction il est dit :

le polynome caractéristique de M est scindé et a 3 racines simples distinctes , pour chacune de multiplicité 1 est égale à la dimension 1 de l'espace propre correspondant .

et dans la question d'énoncé il était dit : Indiquez une matrice semblable diagonale ( on ne demande pas le calcul des espaces propres ) .

Comment ont ils fait pour deviner que la multiplicité des racines etait égale à la dimension des sous espaces propres puisqu'ils ne les ont pas calculé ?

merci

citation :
Comment ont ils fait pour deviner que la multiplicité des racines etait égale à la dimension des sous espaces propres puisqu'ils ne les ont pas calculé ?

Veleda l'a bien expliqué: un sous espace propre est de dimension au moins égale à 1. Comme il y a 3 valeurs propres, chacune ayant un sous espace de dimension au moins 1, et comme la somme des dimensions fait 3 (on est dans IR3), la seule possibilité est que chaque sous espace propre ait comme dimension 1, qui est exactement l'ordre de multiplicité de chaque valeur propre.

J'ai essayé de t'expliquer cela plus haut: c'est la condition suffisante les n valeurs propres sont toutes différentes , qui entraine la diagonalisabilité.

Non?