Fonctions analytiques (1)

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Fonctions analytiques (1)

Posté le 02-06-08 à 16:57

Posté par critou

Bonjour

,

Je voudrais une petite explication sur un bout de théorème que je ne comprends pas. J'ai dans mon cours le théorème suivant :

Citation :
Soit $3$ \Omega$ un ouvert de $3$\mathbb{C}$ et $3$ f:\Omega\rightar\mathbb{C}$ une fonction continue. Les propriétés suivantes sont équivalentes :
(i) $f(z)dz$ est localement exacte, i.e. f admet localement une primitive ;
(ii) Pour tout triangle $3$ T\subset\Omega$ , $2$ \int_{\part T}f(z)dz=0$ ;
(iii) Pour tout rectangle $3$ R\subset\Omega$ de côtés parallèles aux axes, $2$ \int_{\part R}f(z)dz=0$ ;
(iv) $f$ est holomorphe.

Dans mon cours, on a montré (i)

(iv) , (iv)

(i), (i)

(ii)... et pour (i)

(iii) on me dit que la preuve est analogue à celle de (i)

(ii). Alors ma question est : qu'est-ce que ça change que le rectangle soit parallèle aux axes ou pas

?

Merci de bien vouloir éclairer ma lanterne défaillante

re : Fonctions analytiques (1)

Posté le 03-06-08 à 14:24

Posté par Camélia

Bonjour

En fait c'est dans la partie avec le rectangle parallèle aux axes que l'on fait vraiment les calculs... Tu ne mets pas la fin; il faut bien remonter de (ii) ou (iii) vers (i)...et c'est à partir de (iii) (si je mesouviens bien)!

re : Fonctions analytiques (1)

Posté le 04-06-08 à 13:39

Posté par critou

Et si on met à la place du (iii) :
Pour tout rectangle $2$ R\subset\Omega, \hspace5 \int_{\part R}f(z)dz=0$ , est-ce que ça devient faux ?

Après sinon oui on prouve (iii)

(i), ta mémoire est bonne

re : Fonctions analytiques (1)

Posté le 04-06-08 à 17:56

Posté par Camélia

Non, ce n'est pas faux, puisque c'est plus général! Mais ça peut être intéressant de savoir que dans un cas ou on voudrait utiliser cette caractérisation pour décider si une fonction est holomorphe, il suffit de le vérifier pour un modèle particulier de rectangles.

re : Fonctions analytiques (1)

Posté le 04-06-08 à 18:30

Posté par critou

D'accord, merci

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