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#msg1901859 Posté le 03-06-08 à 15:43
Posté par Profilfusionfroide fusionfroide

Salut

On considère la courbe paramétrée \alpha : \mathbb{R}->\mathbb{R^3}, t->(0,t,t^2)
Soit S le sous-ensemble engendré par la rotation du support de \alpha autour de l'axe y^'Oy

On me demande de trouver une surface paramétrée dont le support soit exactement S

Intuitivement, je réponds : f(t,\theta)=(tcos(\theta),t^2,tsin(\theta))

Qu'en pensez-vous ?

Merci ^^
re : Surface #msg1901871 Posté le 03-06-08 à 15:55
Posté par ProfilCamélia Camélia Correcteur

Tout aussi intuitivement j'aurais dit plutôt (t2cos(u),t,t2sin(u)).

Dans le plan y0z tu as la parabole (t,t2) et comme on tourne autour de Oy, c'est y=t qui rets fixe et z=t2 qui tourne...
re : Surface #msg1901873 Posté le 03-06-08 à 15:56
Posté par Profilmikayaou mikayaou

bonjour

la courbe est la parbole Z = Y² dans le plan Y,Z, non ?

re : Surface #msg1901875 Posté le 03-06-08 à 15:57
Posté par Profilfusionfroide fusionfroide

Je viens de corriger effectivement en voyant la suite des calculs
re : Surface #msg1901876 Posté le 03-06-08 à 15:57
Posté par ProfilCamélia Camélia Correcteur

Yes! (décidément, les courbes t'intéressent!)
re : Surface #msg1901880 Posté le 03-06-08 à 16:00
Posté par Profilfusionfroide fusionfroide

C'est joli non ^^
re : Surface #msg1901882 Posté le 03-06-08 à 16:01
Posté par Profilfusionfroide fusionfroide

.

re : Surface #msg1901937 Posté le 03-06-08 à 16:51
Posté par Profilfusionfroide fusionfroide

Re

JE dois montrer maintenant que S=F^{-1}(\{0\})F(x,y,z)=x^2+z^2-y^4

Quelle est la méthode générale ??

Faut-il résoudre F(x,y,z)=0 ?

Auquel cas je trouve : (x,y,z)=(\sqrt{y^4-z^2},y,z) et (x,y,z)=(-\sqrt{y^4-z^2},y,z)

SI je note f(t,\theta)=(t^2cos(\theta),t,t^2sin(\theta))=(x,y,z), il ne suffit quand même pas de remarquer que x^2+z^2-y^4=0
re : Surface #msg1902161 Posté le 03-06-08 à 19:40
Posté par Profildisdrometre disdrometre

salut FF

effectivement il suffit de résoudre x^2 + z^2 -y^4 =0
re : Surface #msg1902175 Posté le 03-06-08 à 19:51
Posté par Profilfusionfroide fusionfroide

Salut DD

D'accord, auquel cas je trouve les solutions que j'ai donné, mais ensuite ?

De toute manière, si on prend pour x, y et z les coordonnées de f, la surface dont le support est S, on trouve bien que x^2+z^2-y^4=0
re : Surface #msg1902380 Posté le 03-06-08 à 21:36
Posté par Profilfusionfroide fusionfroide

re : Surface #msg1902425 Posté le 03-06-08 à 22:07
Posté par Profildisdrometre disdrometre

Si M appartient à S

donc x=t cos(teta)  y=t^2 z= t sin(teta)


on voit bien que  F(M) = 0  donc  S est inclus à F^-1( {0}) \\
re : Surface #msg1902429 Posté le 03-06-08 à 22:08
Posté par Profildisdrometre disdrometre

on voit bien que  F(M) = 0  donc  S est inclus à F^{-1}(0)
re : Surface #msg1902449 Posté le 03-06-08 à 22:24
Posté par Profilfusionfroide fusionfroide

Ouaip exactement !

Et pour l'autre inclusion ?

Si M(x,y,z) \in F^{-1}(\{0\}) alors x^2+z^2-y^4=0

Alors (x,y,z)=(\sqrt{y^4-z^2},y,z) et (x,y,z)=(-\sqrt{y^4-z^2},y,z)

Mais ensuite ?
re : Surface #msg1902473 Posté le 03-06-08 à 22:48
Posté par Profilfusionfroide fusionfroide

Ca serait trop facile de prendre x=tcos(theta) ,y=....
re : Surface #msg1902485 Posté le 03-06-08 à 22:55
Posté par Profildisdrometre disdrometre



à y=y0  (avec y0 constant) Les solutions de M=F^{-1}(0) s'écrivent


x^2 + z^2 = y_0^4  => c'est un cercle dans le plan y=y_0   et de centre (0,y_0,0) et de rayon y_0^2

donc une équation paramétrée de ce cercle  x=y_0^2 cos(t)  et z=y_0^2 sin(t) qui est une parties de (S)


ainsi toutes les coupes à de M=F^{-1}(0) par les plans y=y_0 sont incluses dans S


donc F^{-1}(0) = S
re : Surface #msg1902486 Posté le 03-06-08 à 22:56
Posté par Profilfusionfroide fusionfroide

On a x=\sqrt{y^4-z^2} donc x^2=y^4-z^2

Si on prends y=t, alors on a : t^4=x^2+y^2 et ceci implique qu'il existe theta tel que ...

non ?
re : Surface #msg1902488 Posté le 03-06-08 à 22:58
Posté par Profilfusionfroide fusionfroide

Oui voilà ^^
re : Surface #msg1902489 Posté le 03-06-08 à 22:58
Posté par Profilfusionfroide fusionfroide

Merci DD
re : Surface #msg1902494 Posté le 03-06-08 à 22:59
Posté par Profilfusionfroide fusionfroide

oui en fait y_0 est arbitraire c'est pour cela qu'on peut conclure ?
re : Surface #msg1902496 Posté le 03-06-08 à 23:01
Posté par Profildisdrometre disdrometre

de rien
re : Surface #msg1902498 Posté le 03-06-08 à 23:04
Posté par Profildisdrometre disdrometre

c'est vrai pour toutes les coupes par les plans y=y0

on fait varier y0 sur R, donc on se ballade dans tout l'espace...
re : Surface #msg1902504 Posté le 03-06-08 à 23:16
Posté par Profilfusionfroide fusionfroide

oui car y_0est arbitraire
re : Surface #msg1902505 Posté le 03-06-08 à 23:16
Posté par Profilfusionfroide fusionfroide

Dis-donc pour une ancienne taupe t'es pas trop rouillé !!
re : Surface #msg1902510 Posté le 03-06-08 à 23:21
Posté par Profildisdrometre disdrometre

Merci
re : Surface #msg1903246 Posté le 04-06-08 à 18:09
Posté par Profilfusionfroide fusionfroide

Est-ce que mon raisonnement est correct ?

f(u,v)=(u^3,(u^2+1)cos(t),(u^2+1)sin(t))

Donc c'est une surface de révolution d'axe x0x' engendré par la courbe paramétrée ???

Pour, moi, on tourne autour de xOx', donc c'est u^3 qui reste fixe?

Finalement la courbe est t->(t^3,t^2+1)

Est-ce bon ?

MErci
re : Surface #msg1903413 Posté le 04-06-08 à 19:15
Posté par Profilfusionfroide fusionfroide

DD ?
re : Surface #msg1903421 Posté le 04-06-08 à 19:20
Posté par Profilfusionfroide fusionfroide

Comme on tourne autour de x, alors c'est u^3 qui est constant donc la courbe cherchée est (u^3,u²+1)
re : Surface #msg1903422 Posté le 04-06-08 à 19:20
Posté par Profildisdrometre disdrometre

salut FF,

oui c'est une surface car la fonction dépend de 2 paramètres.

à u constant , la courbe est dans un plan x=u^3 , j'imagine que t=v , la courbe est un cercle de rayon u^2 +1,  

oui cela me paraît bon ..
re : Surface #msg1903423 Posté le 04-06-08 à 19:20
Posté par Profilfusionfroide fusionfroide

Finalement j'ai trouvé ^^

MErci

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