Le cadenas de Nathalie

Posté par J-P J-P

Nathalie a un nouveau cadenas, pour l'ouvrir il faut réaliser une combinaisons de 5 chiffres.

Elle présente à Pierre le cadenas bouclé et le défie de l'ouvrir.

Pour l'aider, elle lui donne les élément suivants:

- Si tu ajoutes les chiffres de la combinaison, tu trouveras 27.

- Si tu divises le nombre de la combinaison par 27, en ajoutant les chiffres du résultat, tu trouveras encore 27.

- Si tu multiplies le nombre de la combinaison par 27, en ajoutant les chiffres du résultat, tu trouveras encore 27.

Nathalie jubile en se disant que Pierre échouera, cependant, Pierre, excellent mathématicien lui rend très vite le cadenas ouvert.

Questions:

Avec les informations transmises par Nathalie, combien Pierre a-t-il du, au maximum, essayer de combinaisons pour ouvrir le cadenas et quelles sont ces combinaisons ?
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Pour que la solution soit comptée comme exacte, il faut répondre correctement aux 2 questions (nombre de combinaisons et il faut inscrire ces combinaisons).

Clôture de l'énigme : dimanche soir.

Bonne chance à tous.

Posté par pinotte (invité)

Le plus petit nombre dont la somme des chiffres est 27 est 999.

999 x 27 = 26973
Si l'on additionne: 2 + 6 + 9 + 7 + 3 = 27!
26973 x 27 = 728271
Si l'on additionne: 7 + 2 + 8 + 2 + 7 + 1 = 27!

En étudiant les chiffres compris entre 999 et 100000/27, on trouve certains nombres dont la somme des chiffres est 27. En les multipliant par 27, on conserve uniquement ceux dont la somme est encore 27. En les multipliant une autre fois par 27, on trouve 3 nombres dont la somme est toujours 27: 53946, 80676
et 80919.

Pierre a donc fait au maximum 4 combinaisons: 26973, 53946, 80676 et 80919.

Posté par mizoun (invité)

salut a tous
voici ma méthode (surement pas la plus courte ni la plus simple)

d'apres l'enoncé le nombre de la combinaison est divible par 27 puisqu'on peut ajouter les chiffres du resultats de cette division

le plus grand nombre de 5 chiffres dont la somme de ces chiffres est egales a 27 est : 99900.
et le plus petit nombre dont la somme des chiffres vaut 27 est : 999

de plus 99900/27=3700 et 999x27=26973

soit C le nombre de la combinaison alors:
26973 C 99900 999C/273700

de plus la somme des chiffres de C/3 doit etre egale a 27 cherchons alors tous les nombres compris entre 999 et 3700 dont la somme des chiffres est égales a 27:
999;1899;1989;1998;2799;2889;2898;2979;2988;2997;3699

calculons la somme des chiffres du résultats du produit de ces chiffres par 27:

999  x 27 = 26973     2+6+9+7+3 = 27       
1899 x 27 = 51273     5+1+2+7+3 = 18    
1989 x 27 = 53703     5+3+7+0+3 = 18    
1998 x 27 = 53946     5+3+9+4+6 = 27    
2799 x 27 = 75573     7+5+5+7+3 = 27    
2889 x 27 = 78003     7+8+0+0+3 = 18    
2898 x 27 = 78246     7+8+2+4+6 = 27    
2979 x 27 = 80433     8+0+4+3+3 = 18    
2988 x 27 = 80676     8+0+6+7+6 = 27    
2997 x 27 = 80919     8+0+9+1+9 = 27    
3699 x 27 = 99873     9+9+8+7+3 = 36    

Multiplions les réponses précédentes par 27 et regardons quels seront ceux dont la somme des chiffres du résultats sera égale a 27 ( ce seront les nombres correspondant aux solutions):

26973 x 27 = 728271     7+2+8+2+7+1   = 27    
53946 x 27 = 1456542    1+4+5+6+5+4+2 = 27  
75573 x 27 = 2040471    2+0+4+0+4+7+1 = 18  
78246 x 27 = 2112642    2+1+1+2+6+4+2 = 18  
80676 x 27 = 2178252    2+1+7+8+2+5+2 = 27  
80919 x 27 = 2184813    2+1+8+4+8+1+3 = 27  

Il y a donc 4 combinaisons C possibles et celles-ci sont : 26973, 53946, 80676 et 80919.

Bravo a Pierre il doit vraiment etre fort pour rendre le cadenas aussi rapidement parceque moi ça m'aura pris du temps ...
A moins qu'il y ait une méthode plus courte et plus simple ce dont je ne doute pas mais j'ai beau réfléchir pour le moment je ne vois pas ...
Merci pour cette charmante énigme et @++

Posté par gilbert (invité)

Il doit essayer 4 combinaisons au maximum.

Ce sont les 4 combinaisons suivantes :

26973
53946
80676
80919

Posté par LNb (invité)

4 combinaisons à essayer

26973
53946
80919
80676

Posté par Lopez Lopez

Bonsoir,

J'ai trouvé trois combinaisons:
26973
53946
80676
La somme de leurs chiffres donne 27, leur division par 27 donne un nombre dont la somme des chiffres est 27, même chose quand on les multiplie par 27.

Posté par Nofutur2 Nofutur2

Question 1 :
Pierre devra essayer 4 combinaisons au maximum : 3 mauvaises plus la bonne.

Question 2 :
Combinaisons possibles :
26973
53946
80676
80919

Posté par dgvincent (invité)

4 possibilités:

26973
53946
80676
80919

Posté par timo23 (invité)

Pierre a essayé 3 combinaisons qui sonts:
26973 (999*27)
53946 (999*2*27)
80919 (999*3*27)

comme 999*4*27 comporte plus de 5 chiffres, il ne peut pas etre solution!
CQFD  

Posté par Archange21 Archange21

Salut,
  On a trois combinaison possibles qui vérifient les conditions posées. Ces combinaisons sont les suivantes :



  Donc la réponse à la deuxième question est :
Il devra faire combinaison au maximum pour trouver la seule et unique combinaison.
Allez, @ +

Posté par isisstruiss isisstruiss

Pierre a dû essayer au plus 4 combinaisons. Les voici:
26973, 53946, 80676, 80919

Posté par Graubill (invité)

4 combinaisons possibles:

26973
53946
80676
80919

Posté par julien12ever (invité)

le code est 26973
pour le raisonnement je suis sur que qqun l'a deja démontré donc c'est pas la peine que je la fasse

Posté par franz franz

Je suppose que le quotient du n° de la combinaison par 27 est un entier sinon, la somme des chiffres en écriture décimale est infinie.

Soit n le nombre recherché

Le quotient q de n par 27 est un nobmre d'au plus 4 chiffres inférieur à 3703 dont la somme des chiffres vaut 27
Le chiffre des milliers ne peut valloir que 0 , 1 , 2 et 3
q ne peut valloir que 999, 1899, 1989, 1998, 2799, 2889, 2898, 2979, 2988, 2997, 3699.
Parmi ces valeurs, celles qui multipliées par 27 et par 27² conduisent à des nombres dont la somme des chiffres vaut 27 sont 999, 1998, 2988 et 2997.

Pierre a testé au maximum 4 combinaisons qui sont 26973, 53946, 80676 et 80919

Posté par ofool ofool


Bonsoir,

3 Combinaisons possibles qui sont
80676     53946      80919  

              

Posté par Serphone (invité)

Il y a 3 combinaisons possibles

80919
26973
53946

Posté par Ksilver Ksilver

je dirais qu'il a du essayer les combinaison suivantes :

26937,53946,80676,80919

sois 4 combinaison.

Posté par jetset (invité)

Bon alors voilà mon raisonnement:

Soit C la combinaison de Nathalie
La combinaison la plus grande envisable est 99999. Or, elle est divisible par 27. Notons B= C/27
Comme C < ou = 99999 alors B < ou = 3703
(car 3704x27 > 99999)

Or, la somme des chiffres de B doit être égale à 27.

On passe en revue toutes les valeurs de B possibles en fixant le premier chiffre égal à 0 puis 1 puis 2 puis 3 et en se rappelant qu'il faudra rejetter les solutions > 3704 et celles dont la somme des chiffres ne fera pas 27:

- Avec 0 en 1er chiffre, il n'y a que
B=0999 d'envisageable
- Avec 1 en 1er chiffre, je peux avoir
B= 1899 ou B=1989 ou B=1998
- Avec 2 en 1er chiffre, je peux avoir
B=2799 ou B=2979 ou B=2997 ou
B=2889 ou B=2898 ou B=2988 ou
- Avec 3 en 1er chiffre, il n'y a que
B=3699 d'envisageable

J'ai donc 11 valeurs de B possibles que je vais multiplier par 27 pour retrouver A et je supprimerai toutes celles donc la somme des chiffres ne fait pas 27:

Si B=0999 alors A=26973 OK
Si B=1899 alors A=51273 PAS OK
Si B=1989 alors A=53703 PAS OK
Si B=1998 alors A=53946 OK
Si B=2799 alors A=75573 OK
Si B=2979 alors A=80473 PAS OK
Si B=2997 alors A=80919 OK
Si B=2889 alors A=78003 PAS OK
Si B=2898 alors A=78246 OK
Si B=2988 alors A=80676 OK
Si B=3699 alors A=99873 PAS OK

Il reste 6 possibilités pour A que je vais multiplier par 27. Si je note C=Ax27 alors la somme des chiffres de C doit faire 27.

Si A=26973 alors C= 728271 OK
Si A=53946 alors C=1456542 OK
Si A=75573 alors C=2040471 PAS OK
Si A=80919 alors C=2184813 OK
Si A=78246 alors C=2112642 PAS OK
Si A=80676 alors C=2178252 OK

Donc Pierre aura 4 combinaisons à essayer:
26973 53946 80919 80676

(bon je me confesse, j'ai failli faire un petit programme en visual basic pour trouver la solution
Hou! Hou! Hou!...)

Posté par Ptit_belge Ptit_belge

Bonjour,

Voici ma proposition:

Soit N la combinaison du cadenas, avec N<100000.
On peut écrire N/27 = 10³q3 + 10²q2 + 10q1 + q0, où q3,q2,q1 et q0 sont les chiffres du quotient de N par 27.
N/27 est inférieur à 3704 car 99999/27=3703,...
Donc, q3 ne peut valoir que 3,2,1 ou 0, ce qui implique que q2+q1+q0  doit être égal à 24,25,26 ou 27 pour que q3+q2+q1+q0=27.
Il n'y a donc qu'un nombre limité de solutions possibles (11 pour être exact):

q3  q2  q1  q0     N      N ok?     N*27    N*27 ok?

3   6   9   9     99873    
2   7   9   9     75573    *      2040471
2   8   8   9     78003
2   8   9   8     78273    *      2106081
2   9   7   9     80433
2   9   8   8     80676    *      2178252       *
2   9   9   7     80919    *      2184813       *
1   8   9   9     51273
1   9   8   9     53703
1   9   9   8     53946    *      1456542       *
0   9   9   9     26973    *       728271       *

Parmi ces 11 combinaisons, seules 6 sont à retenir car la somme des chiffres qui les composent vaut 27. Elles sont marquées d'une étoile dans la colonne "N ok?"

Pour continuer la sélection, on calcule 27*N pour ces 6 valeurs et on inscrit une étoile dans la colonne "N*27 ok?" si la somme des chiffres du produit vaut 27.

Seules 4 combinaisons obtiennent cette seconde étoile. La combinaison du cadenas figure parmi ces 4 valeurs.

En conclusion, la combinaison du cadenas est 80676, 80919, 53946 ou 26973.
Dans le pire des cas, Pierre découvre la combinaison à la 4^e tentative.

Bonne après-midi

Posté par pietro (invité)

4 combinaisons possibles :
   26973
   53946
   80676
   80919  

Posté par daniel12345 (invité)

il y a 4 combinaisons possibles

        26973
        53946
        80676
        80919

Posté par J-P J-P

L'énigme est clôturée.

Il y avait 4 combinaisons possibles: 26973, 53946, 80676 et 80919.
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Certaines parmi les solutions sont suffisamment détaillées pour que je ne fournisse pas une manière de résolution.

Félicitation à tous, et dommage pour les quelques-uns qui ont oublié une des possibilités.
Un regret spécial pour Ksilver qui a été distrait et inversé 2 chiffres dans une des combinaisons.

Posté par Ksilver Ksilver

snif...
pas mon jour.

Posté par julien12ever (invité)

mince j'ai faux
j'avais oublié de répondre aux questions je l'avais mal mémorisé donc voila: erreur grossière pas grave mais je suis decu quand meme d'avoir cherché autant pour avoir du poisson pouri

Posté par Tom_Pascal Tom_Pascal

Hello,

J'avais écrit un petit script PHP (syntaxe proche du C) pour résoudre cette énigme proposé par J-P en utilisant un algorithme.
Pour ceux qui sont intéressés, je met le script ici.





Le résultat obtenu est le suivant :