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Topologie > Sphère unité compacte

Bonsoir à tous

En cette heure tardive, je me suis confronté à un exercice de topologie plutôt sympathique :

citation :
Montrer que la boule unité d'un evn de dimension infinie ne peut pas être compacte

Bon ce fût laborieux mais ça se montre bien.

Cependant il m'est alors venue une question dont je n'arrive pas à apporter de preuve pour le moment :

citation :
Supposons que la sphère unité d'un evn soit compacte. Peut-on dire alors que ce dernier est de dimension finie ?

A priori je dirais que oui.

Mon idée serait dans un premier temps de démontrer la compacité de avec y dans le segment ouvert ]0,1[.

Je pense pouvoir m'en sortir avec Bolzano-Weierstrass, cependant, ceci étant prouvé, j'ai un peu de mal à conclure.

Si vous aviez des idées...

Merci

Bonjour Jord

citation :
citation : Montrer que la boule unité d'un evn de dimension finie ne peut pas être compacte

Ce n'est pas plutôt dimension infinie (Théorème de Riesz)?

Salut jeanseb

Si si bien sûr, c'est infini

Re

En fait j'ai trouvé.

Une fois avoir montré la compacité de mon ensemble, je considère une suite sur la boule unité.

Si 0 est valeur d'adhérence c'est bon, sinon il existe un y et un rang n à partir du quel la norme de notre suite est dans [y,1]. L'ensemble considéré plus haut étant compact, la suite admet bien une valeur d'adhérence. On en déduit que la boule unité est compacte et donc d'après la contrapposée de ce que j'ai montré en premier, l'evn est de dimension finie.