la nature des points stationnaires(maximum,minimun..)

Posté par anthony7788 anthony7788

Bonjour,je vous propose une question

soit on a f(x,y)=(x-1)⁴+4x²+2y²+4xy+4y+6
pour etudier la nature des points stationnaires(maximum,minimun..)
ici on trouve de point stationnaire est (1,-2)
on calcule la matrice Hessien.
on a Hf(1,-2)=    0   4
                          4   4

on dit que detHf0,
f admet un minimun (maximun) local en a toutes les valeurs propres de D²f(a) sont >0 (<0)

ma question:
1.ici,detHf=-160,
mais toutes les valeurs propres de D²f(a)?
ici,D²f/dx²=0,on peut dir c'est miminum?

2.si H()= 0  1
              1  0
comment faire?

3.je sais pas comment etudier la condition quand detHf=0

Merci d'avance~~~

Posté par Camélia Camélia

Bonjour

D'abord, il reste toujours des cas d'indétermination (c'est un grand principe de l'étude des fonctions réelles) C'est le cas de Det(Hf)=0.

En fait je trouve que l'on voit mieux la situation en écrivant la décomposition en carrés de la forme quadratique D²f(a).

Le cas 2. correspond à et .

La forme quadratique donc ce n'est pas un extremum.

Posté par anthony7788 anthony7788

on soit on a Hf(1,-2)=    8   4
                          4   4
apres on calcul pour les valeurs propres
(x-8)*(x-4)-16=0
x²-12x+16=0
x₁=8,x²=4
ils sont >0
(-1,2)est un minimun local...

on soit on a Hf(1,-2)=    0   4
                          4   4
on calcul la meme facon,
x*(x-4)-16=0
x²-4x-16=0
on a x₁<0 et x₂>0
donc c'est un point selle

c'est correct comme ca?
merci votre aide!

Posté par Camélia Camélia

Oui, c'est correct.