Probabilités, niveau prépa

Posté par PlazaDel62 PlazaDel62

Bonjour,

Je n'ai pas vraiment de problème à exposer, juste j'aurai souhaité que vous puissiez me dire quelles sont les conditions à l'utilisation de ces 5 lois :

Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
Loi Hypergéométrique

En fait en probabilités il y a pas mal de lois, mais je ne sais pas comment et selon quels critères les utiliser (genre des normes de populations )

Donc je vous remercie d'avance si vous pouvez me répondre

Posté par orelo orelo

Salut,

pour la loi de bernoulli par exemple, si omega est ton univers, il faut que la variable aléatoire X soit telle que:
X(omega)= {0,1}

avec P(X=1)=p et P(X=0)=1-p

alors X suit une loi de bernoulli de paramètre p

pour la loi binomiale, c'est le même principe

tu dois avoir X(omega)={0,1,... n}

et P(X=k)=(k parmi n)* p^k * (1-p)^n-k

alors X suit une loi binomiale de paramètres n et p

il y a toujours une condition sur X(omega) et une sur P(X=k) avec k appartenant à X(omega)

voilà à peu prêt pour ce qui est de mes connaissances...

j'espère que cela répond à ta question

Posté par PlazaDel62 PlazaDel62

D'accord ! oui ça répond a ma question pour 2 des lois, j'arrivais a différencier mais sans plus quoi, ça me parait deja un peu plus clair merci

Posté par orelo orelo

après j'ai sous les yeux les conditions pour les 3 autres lois, cela t'intéresse ?

Posté par PlazaDel62 PlazaDel62

Oui bien sur !!

Posté par orelo orelo

ok, alors pour la loi géométrique:

X(omega) = N privé de 0
P(X=k)=p*(1-p)^(k-1) avec p appartenant à ]0,1]

(on remarque que la somme les P(X=k) pour k allant de 1 à plus infini = 1... )

Posté par orelo orelo

pour la loi de poisson:

X(omega)= N

P(X=k)= exp(-lambda)*lamba^k/k! avec lambda > 0

pareil la somme de 0 à infini fait un

Posté par orelo orelo

pour la loi hypergéométrique, c'est plus chaud...

alors il faut n inférieur ou égal un entier N ,  p appartenant à ]0,1[

X(omega)=[max(0,n-N(1-p); min(n,Np)]

P(X=k)=(k parmi Np) * (n-k parmi N(1-p)) / (n parmi N)

X hypergéo de paramètres N,n,p

celle là est vraiment affreuse... bonne chance

Posté par borneo borneo

Hello,

pour simplifier, Bernoulli (la loi binomiale), c'est avec remise, et la loi de Poisson est une approximation de cette loi.

C'est à mon avis la première chose à apprendre.

Pour la loi de Poisson, cette loi peut être utilisée en tant qu'approximation d'une loi binomiale B(n,p) lorsque n est "grand" et p "petit" (n > 50, p < 0,1 et np < 10), on a alors lambda = np.

Posté par orelo orelo

Salut,

ce sont en effet des relations entre les lois, mais au niveau des conditions d'utilisation, est-ce qu'on peut faire autrement que les conditions sur X(omega) et P(X=k) ?

Posté par lafol lafol

Bonjour
la loi binomiale correspond à la recherche du nombre de succès dans la répétition d'expériences de Bernoulli (i.e. succès - échec) identiques (d'où le "avec remise" de bornéo) et indépendantes

la loi géométrique intervient dans les problèmes de rang d'un premier succès

Posté par stokastik stokastik


On peut réunir ces lois dans un seul contexte:

Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Loi Géométrique

Contexte : on lance une pièce et on note 0 si on obtient "face" et 1 si on obtient "pile". La pièce a une probabilité de tomber sur pile.


Loi de Bernoulli: C'est la loi de la variable aléatoire  X="résultat du lancer de la pièce"

Loi binomiale: On lance N fois de suite cette pièce. La loi binomiale est la loi de la variable aléatoire X="nombre de piles obtenus"

Loi géométrique: On lance la pièce jusqu'à ce qu'on observe pile pour la première fois. La loi géométrique est la loi de la variable aléatoire X="nombre de fois qu'on a lancé la pièce".

Posté par stokastik stokastik


_edit:

Posté par Eric1 Eric1

La loi de Binomiale est bien mais pour un nombre relativement petit de répétition, car sinon, les calculs du C(n p) deviennent ingérables.
Avec l'approximation de la loi de poisson, c'est déja plus facile... relativement

Posté par stokastik stokastik



De nos jours on calcule des probas relatives à la loi binomiale ou à la loi de Poisson avec un ordinateur...

Posté par borneo borneo

Oui, mais il y a pas mal de choses qu'on pourrait faire à la calculatrice ou avec un ordinateur, et que les élèves font "à la main", aux examens. Les calculs de loi binomiale, par exemple, ou les droites de régression.

C'est un peu comme si on leur demandait d'extraire une racine carrée à la main...