Loi de Laplace
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Loi de Laplace
Posté le 05-06-08 à 14:53
Posté par 
H_aldnoer H_aldnoer
Bonjour,
voici un nouveau problème de probabilité sur lequel je bloque.
Soit
une variable aléatoire de loi de Laplace de densité de probabilité donnée, pour tout 
, par =\frac{1}{2}exp(-|x|)})
.
1) Calculer l'espérance et la variance de.
Sans trop de souci je trouve![\Large{\mathbb{E}[X]=0}](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?\Large{\mathbb{E}[X]=0})
et ![\Large{\mathbb{V}[X]=2}](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?\Large{\mathbb{V}[X]=2})
2) Trouver la fonction de répartition de.
Ici je trouve que=\{\frac{1}{2}exp(x)\,si\,x\le 0\\1-\frac{exp(-x)}{2}\,si\,x\ge 0})
.
3) Trouver une façon de générer une réalisation de à partir de la loi uniforme sur ![\Large{[0,1]}](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?\Large{[0,1]})
.
Ici, mystère. Je ne vois pas ce qu'il faut faire!
Un peu d'aide?
D'avance merci.
H_aldnoer H_aldnoerBonjour,
voici un nouveau problème de probabilité sur lequel je bloque.
Soit
1) Calculer l'espérance et la variance de
Sans trop de souci je trouve
2) Trouver la fonction de répartition de
Ici je trouve que
3) Trouver une façon de générer une réalisation de
Ici, mystère. Je ne vois pas ce qu'il faut faire!
Un peu d'aide?
D'avance merci.
re : Loi de Laplace Posté le 05-06-08 à 15:40
Posté le 05-06-08 à 15:40Posté par robby3 robby3
Noooon t'a vu le ratrapage de 2005,on sait tapé l'exo en partiel!!!
attend que je mette à réviser la proba...je vais tous les faire ces exos
robby3 robby3Noooon t'a vu le ratrapage de 2005,on sait tapé l'exo en partiel!!!
attend que je mette à réviser la proba...je vais tous les faire ces exos
re : Loi de Laplace Posté le 05-06-08 à 15:49
Posté le 05-06-08 à 15:49Posté par H_aldnoer H_aldnoer
Oui j'ai vu!
C'est justement pour ça que j'ai envie de faire ce partiel!
H_aldnoer H_aldnoerOui j'ai vu!
C'est justement pour ça que j'ai envie de faire ce partiel!
re : Loi de Laplace Posté le 05-06-08 à 20:30
Posté le 05-06-08 à 20:30Posté par H_aldnoer H_aldnoer
Petit up!
Est-ce la méthode d'inversion qu'il faut utiliser ?
On se donne
tel que 
.
On écrit=u \Leftrightarrow x=F_X^{-1}(u)})
avec })
à déterminer.
Par suite, si![\Large{u\sim \mathcal{U}([0,1]](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?\Large{u\sim \mathcal{U}([0,1])
) alors la variable aléatoire suit la loi de Laplace.
?
H_aldnoer H_aldnoerPetit up!
Est-ce la méthode d'inversion qu'il faut utiliser ?
On se donne
On écrit
Par suite, si
?
re : Loi de Laplace Posté le 05-06-08 à 23:07
Posté le 05-06-08 à 23:07Posté par veleda veleda
bonsoir,
pour la dernière question je pense que c'est cela
d'une façon générale si X est une v.a. continue et si F est sa fonction de répartition Y=F(X) suit la loi uniforme sur [0,1)
veleda veledabonsoir,
pour la dernière question je pense que c'est cela
d'une façon générale si X est une v.a. continue et si F est sa fonction de répartition Y=F(X) suit la loi uniforme sur [0,1)
re : Loi de Laplace Posté le 05-06-08 à 23:23
Posté le 05-06-08 à 23:23Posté par H_aldnoer H_aldnoer
Merci veleda.
C'est effectivement un lemme!
est une v.a.r de fonction de répartition 
.
Si![\Large{U\sim \mathcal{U}([0,1])}](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?\Large{U\sim \mathcal{U}([0,1])})
alors })
à même loi que .
H_aldnoer H_aldnoerMerci veleda.
C'est effectivement un lemme!
Si
re : Loi de Laplace Posté le 05-06-08 à 23:33
Posté le 05-06-08 à 23:33Posté par robby3 robby3
ok
(je vous laisse!
bonne nuit!)
(tu me préviens pour mouss demain...pas avant 17h(je revois Hilbert et Fourier et y'a Nadal/Djoko + Monfils/Federer!!!)
robby3 robby3ok
(je vous laisse!
bonne nuit!)
(tu me préviens pour mouss demain...pas avant 17h(je revois Hilbert et Fourier et y'a Nadal/Djoko + Monfils/Federer!!!)
re : Loi de Laplace Posté le 06-06-08 à 06:59
Posté le 06-06-08 à 06:59Posté par veleda veleda
bonjour,
F est croissante,continue,à valeurs dans [0,1]
Y=F(X) donc Y est à valeurs dans [0,1]
soit y appartenant à ]0,1[ et G(y)=P(Y
y)
Yy=>F(X)y
Soit A={x réels / F(x)y}
A est une partie non vide de R elle est majorée (quand x->+oo limF(x)=1)
soit u la borne sup de A comme F est continue ona F(u)=y
donc G(y)=P(Yy)=P(F(x)y)=P(Xu)=F(u)=y
y
]0,1[ G(y)=y=>Y suit la loi uniforme sur ]0,1[
bonne journée
veleda veledabonjour,
F est croissante,continue,à valeurs dans [0,1]
Y=F(X) donc Y est à valeurs dans [0,1]
soit y appartenant à ]0,1[ et G(y)=P(Y
y)Y
y=>F(X)ySoit A={x réels / F(x)
y}A est une partie non vide de R elle est majorée (quand x->+oo limF(x)=1)
soit u la borne sup de A comme F est continue ona F(u)=y
donc G(y)=P(Y
y)=P(F(x)y)=P(Xu)=F(u)=yy]0,1[ G(y)=y=>Y suit la loi uniforme sur ]0,1[bonne journée
re : Loi de Laplace Posté le 06-06-08 à 11:31
Posté le 06-06-08 à 11:31Posté par robby3 robby3
Super!!
Merci Veleda!!
à 6h59 du matin...le merci que je te donne compte double
robby3 robby3Super!!
Merci Veleda!!
à 6h59 du matin...le merci que je te donne compte double
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