Forum : fonctions :
Somme des valeurs absolues de différences de nombres

Bonjour,
Je suis en 4ème. Mais ce matin, j'ai fait un concours, et, les concepteurs du concours, n'ont pas , je cite, "pensé à concevoir pour [nous] un énoncé différent de celui posé aux lycéens de première ou seconde".

Donc voilà, j'aimerais, que vous m'aidiez s'il-vous-plaît, à un exercice, où je n'ai tout simplement rien répondu ...

Soient a, b, c, d, e cinq nombres réels
a°) Trouver tous les réels x qui rendent minimale la somme :
|x - a| + |x - b| + |x - c| + |x - d| + |x - e|

b°)Trouver tous les réels x qui rendent minimale la somme :
(x - a)² + (x - b)² + (x - c)² + (x - d)² + (x - e)²

a°) Pour cette question, j'ai d'abord cru qu'il s'agissait de la moyenne des cinq nombres x = (a + b + c + d + e)/5
Mais, en fait non :

Contre - exemple :

Pour a = 0 et b=c=d=e=5 ,

- on a avec x = (a + b + c + d + e)/5 = 5*4 /5 = 4
S = 4 + 1 +1 +1+1 = 8

- En prenant, par exemple x = 5
S = 5 + 0 + 0 + 0 + 0

Hello,
Rapidement car je crève de sommeil ^^'
Tu ne pouvais pas résoudre l'exo si tu n'avais pas fait le programme de seconde, mais avec le programme de seconde c'est plutôt simple.

Mettons a < ou = b < ou = c < ou = d < ou = e (tu peux te permettre d'ordonner a, b, c, d, e sans perte de généralité).
Désolée, je crève de sommeil donc je ne pourrais pas m'épancher sur l'explication.
Et bien le x qui minimise est x=c. (En fait j'ai tracé pleins de valeurs absolues avant d'en faire la conjecture).


En bref, en seconde tu vois comment additionner des valeurs absolues à l'aide d'un tableau.
Par exemple, ici: http://www.ilemaths.net/forum-sujet-164318.html-a-b
A l'aide du tableau (que je n'ai pas le courage de retranscrire en LaTEX), tu trouves que ta fonction peut s'écrire ainsi:
sur ]-infini;a], f(x)= -5x+a+b+c+d+e     (1)
    [a;b], f(x)= -3x-a+b+c+d+e           (2)
    [b;c] f(x)= -x-a-b+c+d+e             (3)
    [c;d] f(x)= x-a-b-c+d+e              (4)
    [d;e] f(x)= 3x-a-b-c-d+e             (5)
    [e;+infini[ f(x)= 5x-a-b-c-d-e       (6)

A partir du cas 1 : notre fonction est décroissante donc atteindrait son minimal pour le x le plus élevé, soit a.  On va maintenant prouver que sur [a ;b], notre fonction continue de décroître par rapport au cas 1, c'est-à-dire que pour tout x appartenant à l'intervalle du cas 2, on aura une image par f(x) inférieure à n'importe quelle image obtenue par un x' du cas 1.
Remarquons que pour tout x appartenant à [a ;b] et x' appartenant à ]-inf ;a] :
3/5x+2/5a  >=x'
En effet, la valeur minimale du membre de gauche est obtenue pour x=a lorsque la valeur maximale du membre de droite est obtenue pour x'=a. Par suite, on obtient
-3x-a+b+c+d+e<=-5x'+a+b+c+d+e    
Ce qui valide le fait que notre fonction au cas 2 est inférieure à celle du cas 1.
On le montre de même manière avec le cas 3 par rapport au cas 2 (exactement le même procédé en remarquant que 1/3x+2/3b>=x' avec x' pour le cas 2 et x pour le cas 3).

On vient de montrer que notre fonction est  décroissante sur ]-infini ; c]. On va maintenant montrer qu'elle est croissante sur [c ;+infini[ et que donc le minimum est en c.
De même manière que précédemment, on va supposer que toutes les images du cas 4 sont inférieures à celle du cas 5 en remarquant que 1/3x+2/3d<=x'            
avec x pour le cas 4 et x' pour le cas 5.
On montre la même chose du cas 5 au cas 6 avec 3/5x+2/5e<=x' avec x pour le cas 5 et x' pour le cas 6.
On vient de montrer que notre fonction est croissante sur [c ;+infini[.

Conclusion : il existe un minimum en c.

2) Le deuxième est beaucoup plus simple (en fait, le premier était plus compliqué parce qu'une somme de valeurs absolues n'est pas une fonction dérivable..ah, tu ne sais pas ce que sont que les dérivées hein ^^' et bien, l'extremum d'une fonction est atteint lorsque sa dérivée s'annule).
On développe notre expression, on trouve
5x²-2x(a+b+c+d+e)+a²+b²+c²+d²+e².
Ce qui est à minimiser est donc 5x²-2x(a+b+c+d+e)(car le reste est du fixe, pas la peine d'y faire attention alors).
On calcule la dérivée, qui est 10x-2(a+b+c+d+e).
Et notre x est donc (a+b+c+d+e)/5 qui est la moyenne.


Désolée si je suis passée un peu vite sur certains points mais Morphée m'appelle. N'hésites pas à demander s'il y a des trucs que t'as compris.

Et si d'autres membres du forums me lisent, merci de bien vouloir me rabrouer méchamment si je n'ai fait que taper un ramassis d'ânerie.

Je précise avant d'aller zou! dormir la raison de la nécessité de la première démonstration par les inégalités: on aurait pu s'en passer en remarquant que les pentes des droites sont négatives jusqu'à c puis positives, ce qui impliquerait que notre fonction est décroissante jusqu'à c puis croissante. Sauf que cela ne me semblait pas trop trop rigoureux étant donné que la fonction d'addition de valeurs absolues est une fonction affine par morceaux ce qui implique que de deux intervalles, mêmes si elle y est consécutivement décroissante (resp. croissante), le deuxième pourrait donner des images supérieures (resp.inférieures) à celles du premier. D'où la nécessité de montrer que les images du cas 2 sont inférieures à celles du cas 1 etc.

Bon, j'me fais pas claire et je ferais mieux d'aller dormir.

Bonjour,

En effet le LaTeX à cinq heures du matin... A titre d'illustration et sans autre prétention

Bonjour,
J'ai cours dans une heure et j'ai dormi 3 heures cette nuit .
Merci Coll pour le tableau.
Et effectivement, j'ai raconté n'importe quoi à mon deuxième post, la consécutivité de la décroissance (ou de la croissance) d'une fonction à valeurs absolues sur deux de ses intervalles de définition consécutifs suffit pour conclure à la décroissance de l'intervalle englobant les deux (c'était pas du tout évident pour moi à 5 heures du matin). Par contre, il faut ajouter des inégalités strictes (ce qui ne change rien en posant a<b<c<d<e) et traiter séparément le cas où l'on a deux ou plus des a, b, c, d, e qui sont égaux.

J'ai profité de mon petit déjeuner pour essayer d'étendre à la somme des abs(x-x_i)pour un nombre de i quelconques et j'ai découvert que cela tombait toujours sur la/les médianes des x_i. Pour la question 2, on peut retrouver facilement la moyenne.
Marrant .

bonjour
on peut redistribuer les noms aux nombres de sorte que a <= b <= c <= d <= e
soient j, k, l, m respectivement b-a, c-b, d-c, e-d (on peut se représenter les nombres sur une droite)
si x <= a, la somme est 5*(a-x)+4j+3k+2l+m; son minimum est 4j+3k+2l+m
si a <= x <= b, la somme est j+3*(b-x)+3k+2l+m; son minimum est j+3k+2l+m
si b <= x <= c, la somme est k + k+j+l + (c-x)+l+m = j+2k+2l+m+(c-x); son minimum est j+2k+2l+m
si c <= x <=d, la somme est l + l+k+m + x-c+k+j = j+2k+2l+m+(x-c); son minimum est j+2k+2l+m
si d <= x <= e, la somme est m+3*(d-x)+3l+2k+j; son minimum est j+2k+3l+m
si e <= x, la somme est 5*(x-e)+4m+3l+2k+j; son minimum est 4m+3l+2k+j
le minimum absolu est constaté quand x = c

dans le contre-exemple, il faut prendre les carrés des écarts
moyenne de 0, 5, 5, 5, 5 : 4
somme des carrés des écarts
x = 4 = 4²+1+1+1+1 = 20
x = 5 = 5²+0+0+0+0 = 25
donc ce n'est peut-être pas un contre-exemple

Merci La-berlue !
T'es super sympa de m'aider à un problème plutôt basique pour toi !
Grâce à toi j'ai enfin compris l'exercice. Il ne me reste plus qu'à chercher une définition de "dérivée"...

Derien Varal !
Et ce problème n'était pas du tout basique pour moi, surtout la première question. Plumemeteore t'as proposé une autre solution qui est certainement plus rigoureuse que la mienne donc n'hésite pas à l'étudier aussi. En tout cas, ça fait vraiment plaisir de voir que tu t'intéresses aux maths si jeune! (je ne me souviens même plus si on fait des fonctions en 4ème). Au fait, c'était pour quel concours?

Pour la dérivée, n'hésites pas à aller consulter les fiches de maths de l'île, elles t'expliqueront mieux et avec moins de fautes que ce que je ne pourrais le faire .