[geii] Transformée de Laplace

Posté par zondervan zondervan

Bonsoir tout le monde, je rencontre un problème sur un exo sur les transformées de Laplace.
En effet nous venons de faire ce chapître que j'ai assez bien compris mais j'ai un doute sur un excercice :

Soit f la fonction 4-périodique telles que f(x)=1 sur [0;2] et f(x)=-1 sur [2,4]

Déterminer la transformer de Laplace de f

alors moi je décide de utiliser la loi de linéarité des intégrales pour faire

L[f(x)]=²₀e(-px) - ⁴₄e(-px)+ ⁶₄e(-px)...........

donc pour moi cela fais 0 car au bout tout s'annule, l'excercice est pour lundi et j'ai demandé aujourdui à ma prof si le résultat était 0, elle m'a dis que c'été pas çà donc je sollicite votre aide pour trouver mon erreur.

Merci d'avance.

Posté par zondervan zondervan

oups excuser moi je précise que ;

L[f(x)]=²<img src="smb//integrale.gif">₀e(-px) - ⁴<img src="smb//integrale.gif">₂e(-px)+ ⁶<img src="smb//integrale.gif">₄e(-px)...........<br>

Posté par zondervan zondervan

L[f(x)]=²₀e(-px) - ⁴₂e(-px)+ ⁶₄e(-px)...........

Posté par LeHibou LeHibou

Bonjour,

Tout ne n'annule pas, tu as dû oublier de prendre en compte l'alternance des signes + et -. Je trouve quelque chose comme ça :
(-1/p)(exp(-2p) - 1 - exp(4p) + exp(-2p) + exp(-6p) - exp(-4p)...)
Donc tous les termes se rettouvent au contraire 2 fois.

Posté par -Romane- -Romane-

cela fait depuis quelques heures que je suis sur mon problème de maths et la personne qui m'aidait est partie, je suis désolée ce message n'a pas sa place ici, mais j'aimerais avoir fini et compris avant d'aller me coucher

Posté par zondervan zondervan

à oui tu as raison tout les termes se retrouve 2 fois sauf pour x= 0 qui fait -1/p mais aprés c'est donc 2e(-px) de 0 à + infini?

Posté par zondervan zondervan

en fait je viens de réfléchir
est ce que L[f(x)]= -1/p - 2e(-px)/p quand x tend vers plus infini donc sa fais -1/p ?????

Posté par zondervan zondervan

alors mon raisonnement est-il erroné?

Posté par zondervan zondervan

svp... est ce que mon résultat est bon???

Posté par zondervan zondervan

svp... est ce que mon résultat est bon???

Posté par zondervan zondervan

svp... est ce que mon résultat est bon???

Posté par zondervan zondervan

svp... est ce que mon résultat est bon???

Posté par zondervan zondervan

svp... est ce que mon résultat est bon???

Posté par LeHibou LeHibou

Non, p c'est la variable d'intégration, il n'apparaît pas dans le résultat final...

Posté par zondervan zondervan

svp... est ce que mon résultat est bon???

Posté par zondervan zondervan

oula je suis désolé j'ai eu un bug avec le rafraichissement cela renvoyé le message

Posté par zondervan zondervan

non c'est x la variable d'intégration donc p apparaît logiquement

Posté par LeHibou LeHibou

tu as raison, faute d'innattention, c'est x la variable d'intégration, donc il disparait, et l'expression finale n'est fonction que de p.
En fait ça donne (mon post de 18:32 était un peu faux) :
(-1/p)(exp(-p) - 1 - exp(-2p) + exp(-p) + exp(-3p) - exp(-2p) - exp(-4p) + exp(-3p) +...)
(-1/p)(-1 + 2(exp(-p) + exp(-3p) +...) -2(exp(-2p) + exp(-4p) +...))
Et en te débrouillant bien tu peux faire apparaître deux fois la série géométrique (exp(-2p) + exp(-4p) + ...) dont tu peux facilement calculer la somme.
Attention tout de même au domaine de convergence, Re(p) > 0...

Posté par zondervan zondervan

ok merci de ton aide cependant je ne comprends pas quand tu dis : Et en te débrouillant bien tu peux faire apparaître deux fois la série géométrique (exp(-2p) + exp(-4p) + ...) dont tu peux facilement calculer la somme.

cela veux dire que je dois modifier pour (exp(-p) + exp(-3p) +...) pour avoir (exp(-2p) + exp(-4p) +...)? je ne vois pas du tout comment partir si cela est le cas.... dois-je donner une valeur à p?

Posté par LeHibou LeHibou

Non, mets simplement exp(-p) en facteur dans la première série, tu auras exp(-p)(1 + exp(-2p) + exp(-4p) +...) et tu vois apparaître la seconde série dans la parenthèse...

Posté par zondervan zondervan

pfff c'est vrai, je complique trop des fois en tous cas, je te remercie réellement du temps que tu me consacres donc aprés je dois "facilement" calculer la somme ce cette suite, dois je faire une limite pour calculer cette somme?

je suis désolé de te poser tant de questions mais pour une fois qu'en geii, on fait un truc assez relevé, je me rends compte, que j'éprouve beaucoup de difficultés.

Posté par zondervan zondervan

Ou dois-je mettre exp(-2p)en facteur même si je vois pas ce que cela m'ammène

Posté par zondervan zondervan

cette suite ne ferais pas 0? car si on met exp(-2p) en facteur à force on va se retrouver avec  exp(-2p)exp(-2p)exp(-2p)exp(-2p)exp(-2p)exp(-2p) donc exp(-1000000p) p >0 donc sa fais 0 et pour (1 + exp(-2p) + exp(-4p) +...) sa fais 1 donc L[f(x)]=-1/p

Posté par zondervan zondervan

oula j'ai rien dit L[f(x)]=(2exp(-p)+1)/p

Posté par zondervan zondervan

je viens de m'apercevoir que tu m'avais dis que c'était (-1/p)(exp(-p) - 1 - exp(-2p) + exp(-p) + exp(-3p) - exp(-2p) - exp(-4p) + exp(-3p) +...)

mais d'où sort les -1p -3p.....
pour moi c'est plutôt

(-1/p)(- 1 + exp(-2p) + exp(-2p) - exp(-4p) - exp(-4p) + exp(-6p) + exp(-6p) +...)

soit
(-1/p)(- 1 + 2(exp(-2p) + exp(-6p)+exp(-10p)....) - 2(exp(-4p) + exp(-8p)+exp(-12p)...)

soit
(-1/p)(- 1 + 2exp(-2p)[1 + exp(-4p)+exp(-8p)....] - 2exp(-4p)[1 + exp(-4p)+exp(-8p)....])

soit

(-1/p)(- 1 + [1 + exp(-4p)+exp(-8p)....](2exp(-2p) - 2exp(-4p)))

est ce que c'est cela qu'il faut faire? exp(-4p)+exp(-8p)....=0?

Posté par LeHibou LeHibou

Tu as raison, j'ai vraiment la tête ailleurs, j'était parti sur une fonction 2-périodique alors qu'elle est 4 périodique. Désolé...

Et pour sommer 1 + exp(-4p)+exp(-8p).... tu considères que c'est 1 + X + X² +... avec X = exp(-4p), et tu connais la somme de cette série (quand elle converge !), c'est 1/(1-X) donc 1/(1-exp(-4p)).

Posté par zondervan zondervan

Ce n'est pas grâve, bien au contraire puisque tu essayes de m'aider...

sinon tu me dis que la somme de cette suite c'est 1/(1-exp(-4p)) tu peux m'expliquer pourquoi car je comprends pas comment on en arrive là?

pour finir avec la transformée cela fait donc (-1/p)(- 1 + 1/[(1-exp(-4p)(2exp(-2p) - 2exp(-4p))])
(-1/p)(- 1 + 1/[2exp(-2p)- 2exp(-4p)-2exp(-6p) - 2exp(-8p])
(-1/p)(- 1 - 1/(2(exp(-2p) + exp(-4p) + exp(-6p) + exp(-8p))))

est ce que tout cela est bon? cela m'as l'air quand même assez compliqué.

Bon j'en déduis que je dois calculer la suite exp(-2p) + exp(-4p) + exp(-6p) + exp(-8p) qui pour moi fais 1?

merci pour tout encore

Posté par LeHibou LeHibou

Bonjour,

La sommation de la suite finie Sn = 1 + x + X² +...+ X^n est un résultat classique, tu as :
Sn = 1 + X + X² +...+ X^n
X.Sn = X + X²+...X^(n+1)
et en faisant la différence des deux lignes :
(1-X)Sn = 1-X^(n+1)
Sn= (1-X^(n+1))/(1-X)

Maintenant le passage à l'infini : X^(n+1) si et seulement si |X| < 1, et dans ce cas la somme infinie vaut :
S = 1/(1-X)

Dans ton cas X = exp(-p), et la condition |X| < 1 se traduit par Re(p) > 0
Pour le montrer tu utilises la représentation cartésienne de p = Re(p)+iImp(p), il vient :
X = exp(-p) = exp(-Re(p)).exp(-iIm(p)), donc |X| = exp(-Re(p)), donc |X| < 1 implique -Re(p) < 0 donc Re(p) > 0

Posté par LeHibou LeHibou

Correction, dans ton cas X = exp(-2p), mais tout le reste reste vrai...

Posté par zondervan zondervan

ok merci

donc cela fait

(-1/p)(- 1 + [(1-exp(-2p)^(n+1))*(2exp(-2p) - 2exp(-4p)]/(1-exp(-2p))
(-1/p)(- 1 + [(2exp(-2p) - 2exp(-4p)-2exp(-4p)^(n+1)+2exp(-6p)/(1-exp(-2p))

(2exp(-2p) - 2exp(-4p)-2exp(-4p)^(n+1)+2exp(-6p)=
2exp(-2p) +2exp(-4p)(-1-1^(n+1))+2exp(-6p)
= 2exp(-2p) -4exp(-4p)+exp(-6p)


moué bon je laisse tomber je demanderais à ma prof cela m'as l'air bien compliqué....

Posté par zondervan zondervan

car je pense que cet exercice doit aller aussi loin ou peut-être y'a t'il une méthode plus simple ou peut-être me dis-je que cela est dur alors que c'est l'inverse...

Posté par zondervan zondervan

alors n'y a t'il pas une autre façon?

Posté par zondervan zondervan

J'y suis arrivé ^^ j'ai trouvé une formule pour les fonctions périodiques de période T :
L[f(x)] = 1/(1 - e^(-Tp)) intégrale de 0 à T de e^(-pt)f(t) dt

donc en fait je trouve à la fin (1/p)[(1-exp(-2p)/(1+exp(-2p))] et là je n'arrive plus à simplifier... si quelqu'un peut confirmer????

merci à LeHibou pour son aide....