Petit lemme en probabilité
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re : Petit lemme en probabilité
Posté le 09-06-08 à 12:17
Posté le 09-06-08 à 12:17Posté par 
robby3 robby3
>
bien vu!
si si, le tristement célebre...
robby3 robby3Citation :
Ensuite il n'y a pas besoin de faire des calculs pour la réciproque puisque la fonction est inversible.
Ensuite il n'y a pas besoin de faire des calculs pour la réciproque puisque la fonction est inversible.
>
bien vu!si si, le tristement célebre...
re : Petit lemme en probabilité Posté le 09-06-08 à 14:05
Posté le 09-06-08 à 14:05Posté par H_aldnoer H_aldnoer
Je n'y arrive toujours pas!
Voila ce que je comprend.
Nous avons que=(X,Y)})
.
Le but c'est de calculer![\Large{\mathbb{E}[h(R,A)]}](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?\Large{\mathbb{E}[h(R,A)]})
et de le mettre sous la forme g(r,a)drda)
.
On pourra conclure que)
est la densité du couple )
et ainsi trouver les lois de chaque variables aléatoires.
Est-ce cela ?
H_aldnoer H_aldnoerJe n'y arrive toujours pas!
Voila ce que je comprend.
Nous avons que
Le but c'est de calculer
On pourra conclure que
Est-ce cela ?
re : Petit lemme en probabilité Posté le 09-06-08 à 14:16
Posté le 09-06-08 à 14:16Posté par robby3 robby3
Re,
quand tu écris=(X,Y))
tout l'interet me semble t-il réside dans le fait que tu sais que X et Y sont des variables aléatoires indépendnates suivant la loi normale centrée réduite.
quand tu écris:
"le but est de calculer...[...]"
c'est pas le but puisque c'est la définition meme(sauf erreur).
c'est juste que comme=(X,Y),h(r,a)=\frac{1}{2\pi}.exp(-\frac{x^2+y^2}{2}).)
robby3 robby3Re,
quand tu écris
tout l'interet me semble t-il réside dans le fait que tu sais que X et Y sont des variables aléatoires indépendnates suivant la loi normale centrée réduite.
quand tu écris:
"le but est de calculer...[...]"
c'est pas le but puisque c'est la définition meme(sauf erreur).
c'est juste que comme
re : Petit lemme en probabilité Posté le 09-06-08 à 14:26
Posté le 09-06-08 à 14:26Posté par robby3 robby3
En fait quand on écrit, on parele de variables aléatoires(selon les notations de Stokastik) donc, quand on écrit
)
,je pense que c'est sous-entendu })
...qui vaut alors bien })
robby3 robby3En fait quand on écrit
re : Petit lemme en probabilité Posté le 09-06-08 à 17:53
Posté le 09-06-08 à 17:53Posté par H_aldnoer H_aldnoer
Je comprends mieux mais j'ai vraiment du mal sur la rédaction.
La densité caractérise-t-elle la loi ?
?
Comment mener à bien l'équivalence.
\sim\mathcal{N}(0,I_2))
}(x,y)=\frac{1}{2\pi}exp(-\frac{x^2+y^2}{2}))
et =(X,Y))
...?
H_aldnoer H_aldnoerJe comprends mieux mais j'ai vraiment du mal sur la rédaction.
La densité caractérise-t-elle la loi ?
Citation :
en fait il aurait mieux fallu calculer directement la densité du couple})
.
en fait il aurait mieux fallu calculer directement la densité du couple
?
Comment mener à bien l'équivalence.
re : Petit lemme en probabilité Posté le 09-06-08 à 21:11
Posté le 09-06-08 à 21:11Posté par H_aldnoer H_aldnoer
Je m'arrache les cheveux sur la rédaction !
![\Large{\mathbb{E}[(X,Y)]=\mathbb{E}[h(R,A)]=\Bigint\Bigint_{\mathbb{R}^2}h(r,a)f_{(R,A)}(r,a)drda](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?\Large{\mathbb{E}[(X,Y)]=\mathbb{E}[h(R,A)]=\Bigint\Bigint_{\mathbb{R}^2}h(r,a)f_{(R,A)}(r,a)drda)
Est-ce correct pour l'instant ?
H_aldnoer H_aldnoerJe m'arrache les cheveux sur la rédaction !
Est-ce correct pour l'instant ?
re : Petit lemme en probabilité Posté le 09-06-08 à 21:15
Posté le 09-06-08 à 21:15Posté par stokastik stokastik
Bon mon gars t'affole pas je vais te la faire ta rédac'
Passe plus tard ou demain matin
stokastik stokastikBon mon gars t'affole pas je vais te la faire ta rédac'
Passe plus tard ou demain matin
re : Petit lemme en probabilité Posté le 09-06-08 à 22:24
Posté le 09-06-08 à 22:24Posté par stokastik stokastik
Soit)
un couple aléatoire distribué selon la loi )
.La densité de , que nous notons 
, est donc définie par =\frac{1}{2\pi}\exp\left(-\frac{x^2+y^2}{2}\right))
pour 
.
Soit
la fonction définie par =(rcos(a),rsin(a))})
pour 
et ![a \in ]0,2\pi[](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?a \in ]0,2\pi[)
. On sait que est une bijection de ![]0,+\infty[ \times ]0,2\pi[](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?]0,+\infty[ \times ]0,2\pi[)
sur 
; son inverse 
est la fonction de "passage en coordonnées polaires".
Soit)
le couple de variable aléatoires défini par =h^{-1}(X,Y))
. Nous allons déterminer la loi du couple . On considère une fonction ![\phi: ]0,+\infty[ \times ]0,2\pi[ \to {\bb R}_+](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?\phi: ]0,+\infty[ \times ]0,2\pi[ \to {\bb R}_+)
continue bornée (quelconque). On a
![3${\bb E}\left[\phi(R,A)\right]={\bb E}\left[\phi(h^{-1}(X,Y))\right]= \int\int\phi(h^{-1}(x,y))f(x,y)dxdxy](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?3${\bb E}\left[\phi(R,A)\right]={\bb E}\left[\phi(h^{-1}(X,Y))\right]= \int\int\phi(h^{-1}(x,y))f(x,y)dxdxy)
Le changement de variables en coordonnées polaires donne:
![4$\int\int\phi(h^{-1}(x,y))f(x,y)dxdxy=\int_{]0,2\pi[}\int_{{\bb R}_+}\phi(r,a)f(r\cos a, r\sin a)rdr da](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?4$\int\int\phi(h^{-1}(x,y))f(x,y)dxdxy=\int_{]0,2\pi[}\int_{{\bb R}_+}\phi(r,a)f(r\cos a, r\sin a)rdr da)
et après calcul (à faire) on trouve
![4$\int_{]0,2\pi[}\int_{{\bb R}_+}\phi(r,a)f(r\cos a, r\sin a)rda dr = \int_{]0,2\pi[}\int_{{\bb R}_+}\phi(r,a)\frac{1}{2\pi}r\exp\left(-\frac{r^2}{2}\right)dadr \\ =\int\int\phi(r,a)\left(\frac{1}{2\pi}{\bb 1}_{]0,2\pi[}(a) \times r\exp\left(-\frac{r^2}{2}\right){\bb 1}_{{\bb R}_+}(r)\right) dadr](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?4$\int_{]0,2\pi[}\int_{{\bb R}_+}\phi(r,a)f(r\cos a, r\sin a)rda dr = \int_{]0,2\pi[}\int_{{\bb R}_+}\phi(r,a)\frac{1}{2\pi}r\exp\left(-\frac{r^2}{2}\right)dadr \\ =\int\int\phi(r,a)\left(\frac{1}{2\pi}{\bb 1}_{]0,2\pi[}(a) \times r\exp\left(-\frac{r^2}{2}\right){\bb 1}_{{\bb R}_+}(r)\right) dadr)
Finalement, on trouve
![5${\bb E}\left[\phi(R,A)\right]=\int\int\phi(r,a)g(r,a)dadr](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?5${\bb E}\left[\phi(R,A)\right]=\int\int\phi(r,a)g(r,a)dadr)
avec
![5$g(r,a)=\frac{1}{2\pi}{\bb 1}_{]0,2\pi[}(a) \times r\exp\left(-\frac{r^2}{2}\right){\bb 1}_{{\bb R}_+}(r)](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?5$g(r,a)=\frac{1}{2\pi}{\bb 1}_{]0,2\pi[}(a) \times r\exp\left(-\frac{r^2}{2}\right){\bb 1}_{{\bb R}_+}(r))
.
Ceci montre que la fonction
est la densité du couple )
.
... la suite plus tard... des questions?
stokastik stokastikSoit
Soit
Soit
Le changement de variables en coordonnées polaires donne:
et après calcul (à faire) on trouve
Finalement, on trouve
avec
Ceci montre que la fonction
... la suite plus tard... des questions?
re : Petit lemme en probabilité Posté le 09-06-08 à 22:28
Posté le 09-06-08 à 22:28Posté par stokastik stokastik
non mais sans déconner j'ai pas suivi, bertrand il est de retour dans l'hexagone et vous l'avez vu?
(erreurs de balises dans le post précédent)
stokastik stokastiknon mais sans déconner j'ai pas suivi, bertrand il est de retour dans l'hexagone et vous l'avez vu?
(erreurs de balises dans le post précédent)
re : Petit lemme en probabilité Posté le 09-06-08 à 22:43
Posté le 09-06-08 à 22:43Posté par robby3 robby3
ça fait quelque temps qu'il est dans l'hexagone déjà...son frere habite à gradignan(à bordeaux quoi...)
merci pour la super rédaction!
robby3 robby3ça fait quelque temps qu'il est dans l'hexagone déjà...son frere habite à gradignan(à bordeaux quoi...)
merci pour la super rédaction!
re : Petit lemme en probabilité Posté le 09-06-08 à 22:46
Posté le 09-06-08 à 22:46Posté par H_aldnoer H_aldnoer
C'est beaucoup plus clair!
La densité caractérise donc la loi ?
Pour Bertrand Cantat, il est bien en France!
H_aldnoer H_aldnoerC'est beaucoup plus clair!
La densité caractérise donc la loi ?
Pour Bertrand Cantat, il est bien en France!
re : Petit lemme en probabilité Posté le 09-06-08 à 22:57
Posté le 09-06-08 à 22:57Posté par stokastik stokastik
suite du 09/06/2008 à 22:24
...
avec
.
Ceci montre que la fonction est la densité du couple .
On remarque que pour tout
et tout , on a
=g_1(r)\times g_2(a))
avec
=r\exp\left(-\frac{r^2}{2}\right){\bb 1}_{{\bb R}_+}(r))
et
![4$g_2(a)=\frac{1}{2\pi}{\bb 1}_{]0,2\pi[}(a)](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?4$g_2(a)=\frac{1}{2\pi}{\bb 1}_{]0,2\pi[}(a))
.
Ceci montre que:
-
et 
sont des variables aléatoires indépendantes ;
- la fonction
est la densité de ;
- la fonction
est la densité de .
la suite demain peut-être... c'est vrai que cette démonstration est assez lourde à rédiger dans le contexte d'un exo pour étudiant... bye bye
stokastik stokastiksuite du 09/06/2008 à 22:24
...
avec
Ceci montre que la fonction
On remarque que pour tout
avec
et
Ceci montre que:
-
- la fonction
- la fonction
la suite demain peut-être... c'est vrai que cette démonstration est assez lourde à rédiger dans le contexte d'un exo pour étudiant... bye bye
re : Petit lemme en probabilité Posté le 09-06-08 à 23:07
Posté le 09-06-08 à 23:07Posté par H_aldnoer H_aldnoer
Donc on peut immédiatement tirer que![\Large{A\sim%20\mathcal{U}([0,2\pi])}](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?\Large{A\sim%20\mathcal{U}([0,2\pi])})
.
Par contre, il reste à montrer})
c'est bien ça ?
A+
Encore merci!
H_aldnoer H_aldnoerDonc on peut immédiatement tirer que
Par contre, il reste à montrer
A+
Encore merci!
re : Petit lemme en probabilité Posté le 10-06-08 à 06:46
Posté le 10-06-08 à 06:46Posté par stokastik stokastik
Oui mais je suis allé un peu trop vite (à 22:57), il faudrait dire que g1 et g2 sont des densités, j'y reviendrai plus tard.
stokastik stokastikOui mais je suis allé un peu trop vite (à 22:57), il faudrait dire que g1 et g2 sont des densités, j'y reviendrai plus tard.
re : Petit lemme en probabilité Posté le 10-06-08 à 08:25
Posté le 10-06-08 à 08:25Posté par stokastik stokastik
reprise du 09/06/2008 à 22:57
On remarque que pour tout et tout , on a
avec
et
.
Ceci montre que:
- et sont des variables aléatoires indépendantes car la denisté du couple se factorise en le produit d'une fonction de 
et d'une fonction de 
;
- la fonction est, à une constante multiplicative près, la densité de ;
- la fonction est, à une constante multiplicative près, la densité de .
Mais on remarque que est la densité de )
, et donc c'est en fait exactement la densité de . dès lors, est aussi une densité et c'est celle de .
Maintenant déterminons la loi de
. Soit 
une fonction continue bornée positive (quelconque). Alors on a
![{\bbE}[w(R^2)]=\int w(r^2)g(r)dr=\int w(r)r\exp\left(-\frac{r^2}{2}\right){\bb 1}_{{\bb R}_+}(r)dr.](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?{\bbE}[w(R^2)]=\int w(r^2)g(r)dr=\int w(r)r\exp\left(-\frac{r^2}{2}\right){\bb 1}_{{\bb R}_+}(r)dr.)
Le changement de variable
donne alors (vérifie)
![{\bbE}[w(R^2)]=\int w(z)g_1(\sqrt{z})dz=\int w(z)\frac{1}{2}\exp\left(-\frac{z}{2}\right){\bb 1}_{{\bb R}_+}(z)dz.](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?{\bbE}[w(R^2)]=\int w(z)g_1(\sqrt{z})dz=\int w(z)\frac{1}{2}\exp\left(-\frac{z}{2}\right){\bb 1}_{{\bb R}_+}(z)dz.)
On a donc écrit
![{\bbE}[w(R^2)]=\int w(z)g_1(\sqrt{z})dz=\int w(z)m(z)dz](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?{\bbE}[w(R^2)]=\int w(z)g_1(\sqrt{z})dz=\int w(z)m(z)dz)
où
est la densité de )
. Ceci montre que...
plus le temps!
stokastik stokastikreprise du 09/06/2008 à 22:57
On remarque que pour tout
avec
et
Ceci montre que:
-
- la fonction
- la fonction
Mais on remarque que
Maintenant déterminons la loi de
Le changement de variable
On a donc écrit
où
plus le temps!
re : Petit lemme en probabilité Posté le 10-06-08 à 17:25
Posté le 10-06-08 à 17:25Posté par stokastik stokastik
reprise de ce matin
...
Mais on remarque que est la densité de )
, et donc c'est en fait exactement la densité de . dès lors, est aussi une densité et c'est celle de .
Maintenant déterminons la loi de. Soit une fonction continue bornée positive (quelconque). Alors on a
![3${\bb E}[w(R^2)]=\int w(r^2)g(r)dr=\int w(r)r\exp\left(-\frac{r^2}{2}\right){\bb 1}_{{\bb R}_+}(r)dr.](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?3${\bb E}[w(R^2)]=\int w(r^2)g(r)dr=\int w(r)r\exp\left(-\frac{r^2}{2}\right){\bb 1}_{{\bb R}_+}(r)dr.)
Le changement de variable donne alors (vérifie)
![3${\bb E}[w(R^2)]=\int w(z)g_1(\sqrt{z})dz=\int w(z)\frac{1}{2}\exp\left(-\frac{z}{2}\right){\bb 1}_{{\bb R}_+}(z)dz.](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?3${\bb E}[w(R^2)]=\int w(z)g_1(\sqrt{z})dz=\int w(z)\frac{1}{2}\exp\left(-\frac{z}{2}\right){\bb 1}_{{\bb R}_+}(z)dz.)
On a donc écrit finalement
![4${\bb E}[w(R^2)]=\int w(z)m(z)dz](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?4${\bb E}[w(R^2)]=\int w(z)m(z)dz)
,
ce qui montre que est la densité de , et on reconnaît la densité de la loi )
.
stokastik stokastikreprise de ce matin
...
Mais on remarque que
Maintenant déterminons la loi de
Le changement de variable
On a donc écrit finalement
ce qui montre que
re : Petit lemme en probabilité Posté le 10-06-08 à 17:47
Posté le 10-06-08 à 17:47Posté par stokastik stokastik
Pour la réciproque je trouve ça bête de refaire des calculs ; je dirais que c'est une conséquence de la remarque générale suivante.
Soit
la bijection de sur définie par =(r^2cos(a),r^2sin(a))})
pour et .
Ce qu'on a vu précedemment se dit en d'autres termes que: la loi image de la loi)
par la fonction 
est la loi  \otimes {\cal U}(0,2\pi))
.
Or il est clair que l'application "image par" qui, à une loi sur sur , associe sa loi image par , définit une bijection
de l'ensemble des lois sur dans l'ensemble des lois sur ![{\bb R}_+\times]0,2\pi[](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?{\bb R}_+\times]0,2\pi[)
; son inverse est "l'image par 
".
stokastik stokastikPour la réciproque je trouve ça bête de refaire des calculs ; je dirais que c'est une conséquence de la remarque générale suivante.
Soit
Ce qu'on a vu précedemment se dit en d'autres termes que: la loi image de la loi
Or il est clair que l'application "image par
de l'ensemble des lois sur
re : Petit lemme en probabilité Posté le 10-06-08 à 17:51
Posté le 10-06-08 à 17:51Posté par stokastik stokastik
Correction de 10/06/2008 à 17:25 (erreurs d'étourderie dans la première ligne mathématique)
Il faut remplacer
![3${\bb E}[w(R^2)]=\int w(r^2)g(r)dr=\int w(r)r\exp\left(-\frac{r^2}{2}\right){\bb 1}_{{\bb R}_+}(r)dr](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?3${\bb E}[w(R^2)]=\int w(r^2)g(r)dr=\int w(r)r\exp\left(-\frac{r^2}{2}\right){\bb 1}_{{\bb R}_+}(r)dr)
par
![5${\bb E}[w(R^2)]=\int w(r^2)g_1(r)dr=\int w(r^2)r\exp\left(-\frac{r^2}{2}\right){\bb 1}_{{\bb R}_+}(r)dr.](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?5${\bb E}[w(R^2)]=\int w(r^2)g_1(r)dr=\int w(r^2)r\exp\left(-\frac{r^2}{2}\right){\bb 1}_{{\bb R}_+}(r)dr.)
stokastik stokastikCorrection de 10/06/2008 à 17:25 (erreurs d'étourderie dans la première ligne mathématique)
Il faut remplacer
par
re : Petit lemme en probabilité Posté le 12-06-08 à 00:23
Posté le 12-06-08 à 00:23Posté par H_aldnoer H_aldnoer
Bonsoir stokastik,
merci pour ces réponses et surtout cette rédaction. Je vais reprendre tous ces calculs calmement, ce qui m'inquiète beaucoup c'est de devoir écrire tout ceci pour montrer une équivalence!
Surtout qu'il existe une suite que je rédigerai une fois tout ceci compris.
H_aldnoer H_aldnoerBonsoir stokastik,
merci pour ces réponses et surtout cette rédaction. Je vais reprendre tous ces calculs calmement, ce qui m'inquiète beaucoup c'est de devoir écrire tout ceci pour montrer une équivalence!
Surtout qu'il existe une suite que je rédigerai une fois tout ceci compris.
re : Petit lemme en probabilité Posté le 12-06-08 à 09:59
Posté le 12-06-08 à 09:59Posté par stokastik stokastik
Ouaip. Remarque que je fais 2 changements de variables: un le 09/06/2008 à 22:24, et un le 10/06/2008 à 17:25. On pourrait n'en faire qu'un seul: au lieu de faire le changements de variables de (x,y) à (r,a) (coordonnées polaires), on ferait de (x,y) à (r²,a). On n'aurait alors pas besoin de faire le changement de variables z=r² du 10/06/2008 à 17:25. J'ai choisi de passer par les coordonnées polaires car ce changement de variables étant classique, on peut se permettre de ne pas calculer le jacobien. Si tu fais de (x,y) à (r²,a) alors tu ne feras qu'un changement de variables mais il faudra le détailler.
stokastik stokastikOuaip. Remarque que je fais 2 changements de variables: un le 09/06/2008 à 22:24, et un le 10/06/2008 à 17:25. On pourrait n'en faire qu'un seul: au lieu de faire le changements de variables de (x,y) à (r,a) (coordonnées polaires), on ferait de (x,y) à (r²,a). On n'aurait alors pas besoin de faire le changement de variables z=r² du 10/06/2008 à 17:25. J'ai choisi de passer par les coordonnées polaires car ce changement de variables étant classique, on peut se permettre de ne pas calculer le jacobien. Si tu fais de (x,y) à (r²,a) alors tu ne feras qu'un changement de variables mais il faudra le détailler.
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