Vecteurs coplanaires (vérification d'exercice)

Posté par bisca40 bisca40

Bonjour, je n'ai jamais compris les vecteurs coplanaires --'
j'ai essayé de faire un exercice et j'aimerai savoir si ma réponse est correcte. Merci

Enoncé :

Soit ABCD un tétraèdre régulier et H le centre de gravité du triangle ABD.
On note I, J, K et L les milieux respectifs  de [AD], [BC], [AC] et [BD].

Démontrer que les points I, J, K et L sont coplanaires.

Résultat (pas sur de moi du tout^^)

IJ + IK + IL = 0
(IJ + KL) + ( IL + LK) + IL = 0
IJ + KL - KL + 2IL = 0
IJ = 2IL

Donc les vecteurs IJ, IK et IL sont coplanaires et ainsi les points I, J, K, L le sont aussi.

Merci pour votre aide

Posté par orelo orelo

Bonjour, pourquoi a-t'on IJ+IK+IL=0 ?

I n'est pas le centre de gravité de JKL ?

j'ai une solution mais qui n'utilise pas le point H ni les vecteurs...

il suffit d'utiliser thalès (ou théorème des milieux) dans le triangle ACB, on en déduit (JK) parallèle (AB)

dans le triangle ADB, on trouve (IL) parallèle (AB)

donc (JK) parallèle (IL) donc I,J,K,L sont coplanaires

je regarde s'il y a un autre solution possible

Posté par lafol lafol

Bonjour
le milieu de [IJ] = l'isobarycentre de ABCD = milieu de [KL] par le th du barycentre partiel.
donc IKJL = parallèlogramme, et ces 4 points sont coplanaires.

Posté par bisca40 bisca40

bonjour. nous n'avons pas encore appris le barycentre partiel (en nouvelle calédonie)
Donc j'ai essayé le théorème des milieux
"Si une droite passe par les milieux de deux côtés d'un triangle alors elle est parallèle au troisième côté.
La longueur joignant les milieux de deux côtés d'un triangle est égale à la moitié de celle du troisième côté"

Donc on a KI = IJ/2
la il faut que je démontre que ABIJ est un paraléllogramme pour dire de IJ = AB et ainsi KI = AB/2 et AB = 2KI

mais ça ne suffit pas...
et c'est la que je bloque car je n'arrive pas à insérer le point L pour que un vecteur contennant L pour que ce vecteur = AB/2

Et ainsi je pourrais dire, 2 KI + x KL = AB = IJ

mais je n'y arrive pas

Posté par bisca40 bisca40

Désolé pour le double poste mais je viens de trouver ^^
D'après le théorème des milieux,
KI // CD
et
JL// CD
Donc JL// KI
Est ce que je peux dire maintenant que les vecteurs JL et KI sont colinéaires?
Et ainsi que les points I, J, K et L sont colinéraires?

Posté par orelo orelo

Salut, oui cela suffit,(JL)//(KI) implique que les vecteurs JL et KI sont colinéaires

si la question est " démontrer que les 4 points son coplanaires", le parallélisme des droites devrait suffire.

Faut-il absolument parler de vecteurs ?

Posté par bisca40 bisca40

et bien je pense que le prof attent de nous que l'on utilise les vecteurs mais si tu as une autre idée dis le moi et j'eesaierai!

Posté par orelo orelo

est-ce que tu connais les mesures algébriques?

Posté par bisca40 bisca40

non désolé! Bon c'est pas grave, j'ai uen réponse valabre donc passons à autre chose

je ne me rapelle plus excactement d'un théorème :
il faudrat sans doute le corriger

un segment AB et parallèle à un plan si ce segment et parallèle à un segment de ce plan


La question étant
Un point M d'abscisse x, se déplace  sur (AB)
Déterminer x pour que (EM) soit parallèle au plan (BIC)
Données : E (0, 1/2, 1/2)
A ( 0, 0,0 )
B (1, 0, 0)

Merci

Posté par orelo orelo

on connait I et C ?

Posté par bisca40 bisca40

En fait il nous on demander de determiner les points dans le plan (A; AB; AC; AD)
Donc A ( 0,0,0)
B ( 1,0,0)
C ( 0,1,0)
D (0,0,1)
E (0, 1/2, 1/2)
I ( 0,0,1/2)
J ( 1/2, 1/2 ,0)
K ( 0, 1/2, 0)
L ( 1/3, 1/3, 1/3)
H ( 1/3, 1/3, 0°

Posté par bisca40 bisca40

déterminer sans justfier c'est facile^^
Donc je pense de l'abscisse de M et 2/3
mais j'ai déteminé graphiquement...

Posté par orelo orelo

ok,

en fait il faut tu donnes les coordonnées des vecteurs AB , IB, IC et EM sachant que AM = k.AB

ici k=x car AB (1,0,0)

Posté par orelo orelo

Ensuite il faut dire que (EM) parallèle au plan (BIC) si le vecteurs EM s'écrit:

EM = p.IB + q.IC (en vecteurs)

cela te donne un système à résoudre de 3 équations à 3 inconnues (x, p et q)

Posté par orelo orelo

puisque le vecteur directeur de la droite doit être colinéaire à un vecteur du plan

Posté par bisca40 bisca40

ouhou la la  --'

je n'ai pas tout saisit

Posté par bisca40 bisca40

on ne peut pas calculer EM car on cherche M non?

Posté par orelo orelo

heu... si tu prends un plan de repère  (O,i,j)

tous les vecteurs du plan peuvent s'écrire p.i + q.j   ( p et q réels...)

Posté par orelo orelo

donc si (FG) est parallèle au plan, le vecteur FG s'écrit p.i + q.j

Posté par orelo orelo

tu poses M(x,y,z) si tu veux, et et écris AM = k.AB  car M appartient  à (AB)

tu dois trouver x=k, y=0 et z=0

Posté par bisca40 bisca40

en fait c'est le système d'équations que je n'arrive pas à trouver :/

Posté par lafol lafol

Bonjour

Posté par lafol lafol

avec y = z = 0 car M sur (AB)...