Forum : algèbre :
Projection vectorielle et symétrie

Bonjour à tous !

Voilà, je suis en train de faire un DM dont le premier exercice me pose quelques difficultés ; je sollicite donc votre aide pour pouvoir m'éclairer sur certains points.

Soit E un espace vectoriel de dimension 3 muni de la base B=(e1,e2,e3). Soit le plan F d'équation x+y+z=t et soit D=vect(w) où w=(e1+e2+e3).
Grâce aux premières questions, j'ai montré que (u,v) était une base de F ( où u=e1-e3 et v=e2-e3 ) et que F et D étaient supplémentaires dans E.
La suivante est : Soit r la projection sur le plan F parallèlement à la droite D. Ecrire la matrice de r dans la base (u,v,w).

En fait, j'ai trouvé comment faire sur internet et le résultat semble juste car la suite de l'exercice se fait alors sans problème.
Le voici :

(1  0   0)
(0  1   0)
(0  0   0)

Sur un site je lis : Les sous-espaces vectoriels F et D sont supplémentaires. La projection vectorielle sur F parallèlement à D fixe les vecteurs de F et annule ceux de D.

Je ne vois pas du tout pourquoi. En fait, je ne vois même pas vraiment ce que représente "la projection sur le plan F parallèlement à la droite D". Quelqu'un pourrait m'éclairer s'il vous plaît?

Merci d'avance pour votre aide !

Salut

Le nom parle de lui même nom?

Une projection, ça projette On projette sur quoi? Sur le plan F. Comment on projette? Parallèlement à D, c'est à dire que la droite formé du point et de sa projection est parallèle à D. Tu vois le dessin?

"c'est à dire que la droite formée du point..."   on parle alors d'un point quelconque dans E ?

Un petit dessin :

Bonsoir
si F et D sont supplémentaires, tout x de E s'écrit d'une manière unique f+d avec f dans F et d dans D.
le projeté de x sur F est alors f.

puisque f = f + 0, f de F se projète sur lui même
puisque d = 0 + d, d de D a pour image le vecteur nul

Jord, tu n'as pas peur de lui faire faire des salades entre affine et vectoriel ?
il faudrait choisir une origine o et assimiler le point x au vecteur ox ....

Oui il aurait fallut que je mette mon point 0 sur mon schéma sinon c'est un peu ambigu effectivement...

En tout cas grâce au schéma j'ai compris ce que voulait dire une projection sur un plan parallèlement à une droite (c'est vrai que maintenant que je l'écris ça me paraît évident, enfin ...).

Je comprends ta démarche lafol, mais j'avoue avoir du mal à faire le lien avec la géométrie.

En tout cas merci à tous les deux de prendre le temps de m'expliquer

Pourtant les espaces vectoriels c'est bien plus pratique quand on les visualise géométriquement

dans le plan, plus facile à dessiner : la diagonale du parallèlogramme, c'est x = f+d
son projeté sur F c'est f

J'ai justement beaucoup de mal à me représenter tout ça ^^

D'ailleurs, juste comme ça, j'ai une autre petite question :
le fait d'avoir montrer que FinterD={0} (pour F et D supplémentaires dans E), géométriquement, ca veut dire que 0 est le point d'intersection entre D et le plan, c'est ca?

C'est bien ça

si tu veux te représenter les choses géométriquement, tu dois faire passer tous tes plans, droites, ... par le point choisi comme origine. Si c'est O, alors oui, intersection réduite au vecteur nul en vectoriel donne réduite au point O en affine

Bon je crois que ça va j'ai compris.
Disons qu'il va falloir que je relise tout ça encore 2 ou 3 fois pour que ça soit vraiment clair, mais je vous remercie de m'avoir aider

Avec plaisir

N'hésite pas si tu as d'autres questions

pareil pour moi