Forum : analyse :
équation avec des fonctions à deux variables.

Bonjour,

J'ai un exo sur lequel je bloque, et pourtant, j'ai l'impression que la solution est tout bête.

On a l'équation (1) : ²u/x² = 1/c²*²u/t².

On me demande ensuite de montrer que si u(x,t) = v(x)*w(t), et u solution de (1), non nulle, alors il existe , tel que v et w soient solutions du système suivant :

(2) v" =v
(3) w" =c²w

c >0 , et u, v et w sont C² sur R.

Et ensuite, de montrer la réciproque, c'est â dire que si v et w sont solutions du système, alors u =v*w est solution de (1).


Alors, je vois bien que si multiplie (2) et (3), les lambda s'en vont, et on trouve une égalité qui est vérifiée si on calcule les 2 dérivées partielles de u, or je ne  vois pas comment justifier l'existence de .

Donc, si quelqu'un pourrait me suggérer une piste à suivre.

Merci

salut

si on suppose u non nulle (donc v et w aussi) alors en divisant par u on obtient:
(v"/v)(x)=(1/c²)(w"/w)(t)
alors pour x fixé tu remarques que (1/c²)(w"/w) est constante et inversement en fixant t alors (v"/v) est constante
et comme elle sont égales tu en déduit l'existence de ton réel et les relations (2) et (3)

si u peut être nulle alors...

Merci pour ta réponse.
J'ai pensé à faire cette division, mais je ne vois toujours pas quoi faire si v(x) = 0 ou w(t) =0. C'est surtout que j'ignore tout de w" et v", je sais juste qu'elles existent.

salut

y a pas de pb: tu le dis dans l'énoncé:

citation :
u solution de (1), non nulle

je n'avais pas vu donc v et w sont non nulles aussi

Salut, et encore merci pour ta réponse


Le fait qu'elle soit non nulle nous dit qu'il existe un couple (x,t) tel que u(x,t) soit différent de 0. Donc, si j'appelle ce couple (x₀,t₀), rien ne dit que si on fixe x égal à x₀, alors quelque soit t, w(t) est différente de 0, non ?

si car 0 est absorbant pour le produit
donc w(t)0 pour tout t sinon u=0

d'ailleurs c'est ce qui prouve que si u n'est pas nulle en un point alors elle n'est jamais nulle donc v et w aussi

dsl j'ai été un peu vite et dit des bétises