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ADS erreurs calculs numériques

Bonjour

Il y a plusieurs théorèmes dans mon sujet d'ADS qui ne sont pas démontrés.

Quelqu'un connaît la démo de ceux-ci :

citation :
Théorème 1: Si est une fonction au moins de classe et que la formule de quadrature est d'ordre r, alors il existe une constante , indépendante de telle que :

citation :
Théorème 2: Soit une matrice inversible et un vecteur non nul. Si et sont les solutions respectives des systèmes et alors :

Ils marquent qu'on introduit la norme matricielle subordonnée à la norme euclidienne, mais je n'ai jamais vu ça

Merci

Bonjour.
Le premier théorème est basé sur l'estimation d'erreur d'une interpolation de Lagrange. (dans mon cours, on a traité que le cas d'une formule de quadrature basée sur une interpolation polynomiale)
La norme d'une matrice associée a une norme euclidienne, est le sup de norme(Ax)/norme(x), pour x appartenant a l'espace vectoriel., mais on a pas démontré cette propriété en cours (c'etait le dernier cours de cette manière pour nous, et par manque de temps, on a sauté toutes les démos :s)

Bonjour

Oui les définitions je les connais, elles sont marquées dans le lien que j'ai donné dans mon premier message

Ce que je voudrais ce sont les démonstrations, apparemment celle du théorème 2 est simple...

Merci !

Connais-tu la formulation d'estimation d'erreur pour une interpolation ?
Si oui, la démonstration consiste a ecrire l'erreur locale comme la difference entre l'intégrale de la fonction, et l'intégrale du polynome interpolateur, puis de majorer l'intégrande par l'estimation d'erreur, est d'intégrer le tout.

La formule précitée est :

Soit p le polynome interpolant f aux points (xi), i de 0 à k, alors
|f(x) - p(x)| sup |f^(k+1)| * produit des |x - xi|/(k+1)!, pour i de 0 à k.

Je connais a peine le latex, excuse moi pour la présentation :s
Si jamais tu as du mal a la lire, j'essayerai de la taper en Latex tout à l'heure, je reviens d'ici une demi-heure .

Voila.

Pas de soucis pour le Latex

A la page 6 ils parlent de l'erreur locale, mais on la déduit de l'erreur du théorème 1 dont je cherche la démo.

La majoration que tu as écrite vient d'où ?

Merci !

Je crois avoir trouvé la deuxième démo..

Oui c'est OK pour le théorème 2, c'était effectivement pas difficile

Par contre pour le théorème 1 je veux bien un coup de main ^^

En fait, pour la majoration, on l'obtient de cette manière.
Si l'interpolation se fait aux points (xi), i de 0 à n :

On pose K(x) = (f(x) - p(x))/(x - xi).
On définit ensuite W(t) = f(t) - p(t) - ((t - xi))*K(x)
(x est ici fixé)
On remarque que W(xj) = 0, pour j de 0 à n.
De plus, W(x) = 0.
On a trouvé n+2 zéros de la fonction W. Par le théorème de Rolle, il existe au moins n+1 zéros de W'. De même, W'' s'annule au moins n fois.
Ainsi W⁽ⁿ⁺¹⁾ s'annule au moins un fois.
Appelons un zéro de W⁽ⁿ⁺¹⁾.
[min(x, x0), max(x, xn)]

W⁽ⁿ⁺¹⁾ = f⁽ⁿ⁺¹⁾ - (n+1)!K(x), donc
f⁽ⁿ⁺¹⁾() = (n+1)!K(x).

On en déduit donc qu'il existe un [min(x, x0), max(x, xn)], tel que :

f(x) - p(x) = (f⁽ⁿ⁺¹⁾()/(n+1)!)*(x - xi).

Par majoration de la dérivée, on obtient l'inégalité voulue.

(sauf erreur ...)

Voila

Salut kévin !

Tu as : et

Tu as donc

Donc

D'où

D'autre part

En combinant les deux dernières inégalités, tu as le résultat voulu ^^

Une définition : soit A une matrice rectangulaire de format
On appelle norme matricielle induite le nombre

Une propriété : une norme matricielle induite est bien une norme pour les matrices.

Une proposition : pour deux matrices A et B de format respectif et on a :

En espérant avoir pu t'aider un peu

citation :
Oui c'est OK pour le théorème 2, c'était effectivement pas difficile

Pour une fois que je sortais mon beau latex :rool:

Merci Arkhnor, mais comment conclure pour retomber sur la formule donnée ?

Salut FF

C'est exactement comme ça que j'ai fait, merci !

Autre question : comment à la page ils approchent la dérivée seconde U'' au point xi par ?

Bonjour.

Pour l'approximation, ecrit les développements limités de U autour du point U_i, aux points U_i-1 et U_i+1, puis fait une combinaison linéaire des autres.

Pour obtenir le théorème 1, je viens de voir sur ton poly que le r qui est mentionné correspond à l'ordre de la formule de quadrature. Or dans mon cours, la formule est démontré en utilisant r, le nombre de points de la FQ.
La formule d'erreur reste la meme, sauf que pour les formules de Newton-Cotes avec un nombre pair de points, on peut montrer que l'ordre est égal au nombre de points plus 1.
L'idée de la démonstration doit etre sensiblement la même que dans mon cours, mais il faut que j'y réflechisse.

Je voulais dire : une combinaison linéaire des deux

Ah oui bien vu le coup du DL merci

Ne t'embête pas pour le théorème 1, je pense que je ne parlerai pas de la démo, elle n'est pas élémentaire, c'était juste par curiosité !

Sinon une idée à la page 8 pour donner un ordre de grandeur du nombre d'années qu'il faut pour inverser une "grosse" matrice avec Cramer ?

Merci beaucoup pour ton aide !

De rien

Grace aux formules de Cramer, on peut obtenir chaque composante du vecteur x solution du système Ax = b par un calcul de déterminant.
En effet, si je note A_i la matrice obtenue en remplacant la i-ième colonne de A par b, x_i = det(A_i)/det(A).
Ainsi, on a n+1 déterminants de taille n à calculer : celui de A, et ceux des A_i.
Or, en développant suivant une ligne, on peut exprimer un déterminant d'une matrice n*n comme somme de n déterminants de taille n-1.
Ainsi, le calcul d'un déterminant de taille n coute n! étapes.
Et donc, la résolution d'un système par Cramer coute (n+1)! étapes.
Il suffit de considèrer que pour l'ordinateur, une étape correspond à une opération élémentaire, pour arriver aux résultats mentionnés.

Rah oui je suis bête

Merci beaucoup !

Au fait, juste une question, en quoi consiste le TIPE, je suis en license, et je n'en ai jamais entendu parler.
Et sinon, j'espère que tu apprécie l'analyse numérique, ça a été une de mes matières préférées, jusqu'alors

Le TIPE c'est Travaux d'initiatives personnelles encadrés, en fait on choisit un sujet qui correspond au thème de l'année (l'an prochain c'est "l'information") et on fait un petit dossier dessus qu'on présente ensuite à l'oral aux concours. Mais ça n'a rien à voir avec l'ADS (Analyse de Documents scientifiques) que je fais ici

D'ailleurs ça me fait penser que je suis passe en TIPE la semaine prochaine et j'ai toujours pas de sujet

Je voulais dire je passe la semaine prochaine*

Et oui ça ne me déplaît pas trop l'analyse numérique pour l'instant

Okay, merci