Suite

Posté par Lipoupou Lipoupou

Salut à tous j'ai un petit problème pouvez vous m'aider?

Soit g une fonction contractante et continue sur [a,b]. Soient u[a,b] et (x_n)_n la suite réelle définie par x₀=u et n, x_n+1=g(x_n)
j'ai montrer que n, |x_n-|kⁿ|u--(par récurence sur n). Et j'en ai déduit que la suite (x_n)_n convergeait et avait pour limite .

Après on me demande de montrer que: (n,p)², |x_n+p-x_n|((1-k^p)/(1-k))|x_n+1-x_n|

J'ai remarqué que ((1-k^p)/(1-k))=_i=0^p-1(kⁱ) (somme d'une suite géométrique).

Mais après je ne sais pas comment faire, pouvez vous m'aidez?

Posté par romu romu

Salut,

en utilisant l'inégalité triangulaire tu as :
.

L'avant-dernière inégalité vient du fait que pour tout , par contractance de et par définition de .

Je te laisse continuer

Posté par romu romu



je voulais dire la dernière

Posté par Lipoupou Lipoupou

merci beaucoup

Posté par Lipoupou Lipoupou

Par la suite on me demande de montrer
n, |x_n+1-|(kⁿ/(1-k))|x₁-x₀|

On peut dire que |x_n+1-|]|(kⁿ⁺¹|-x₀| (n)
et encore:  |x_n+1-|]|(kⁿ/(1-k))k(1-k)|-x₀| (n)
ou : |x_n+1-|]|(kⁿ/(1-k))(k|-x₀|-k²|-x₀|)

et on sait que |x₂-|k²|-x₀| et |x₁-|k|-x₀|.

<pouvez vous m'aidez encore un peu.

Posté par romu romu

tu fais tendre vers l'infini dans l'inégalité qu'on a montré précédemment, et rappelle-toi que .

Posté par Lipoupou Lipoupou

daccord merci encore

Posté par fusionfroide fusionfroide

Salut !

romu > j'ai du malo à voir comment tu utilises le fait que g est contractante ? Tu le fais entre deux termes consécutifs ?

Posté par romu romu

salut FF,

tu as



la première égalité c'est la définition des , l'inégalité qui suit c'est la propriété de -contractance de , les autres inégalités,
c'est en réitérant ce qui a été dit jusqu'à redescendre jusqu'au -ième terme de .

Posté par fusionfroide fusionfroide

Merci romu !