Limite d'une intégrale

Posté par Skops Skops

Bonjour,

Je voudrais une piste pour la limite quand n tend vers +oo de :



Merci

Skops

Posté par rai rai

Salut

inégalité de la moyenne

Posté par Skops Skops

Salut rai

En cherchant le sup de ma fraction ?

Skops

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

Bonjour,

Si on appelle In ton expression, une simple IPP permet d'exprimer I(n) en fonction de I(n-1). On obtient alors une expression explicite de I(n) en fonction de n, et sa limite.

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75


Autre méthode...

En visualisant mentalement la fonction sous l'intégrale, on "voit" qu'elle s'écrase vers l'axe des abscisses progressivement quand n augmente, sauf en t=0.

On conjecture donc que la limite est 0.

Essayons de le montrer.
Soit .
On cherche un tel que, pour tout .

On coupe l'intégrale en 2 :



L'intégrande du premier terme est inférieure à e, donc à 3. On peut donc majorer facilement le premier terme :



On majore le second terme :



Sous cette forme, il est facile de montrer que le second terme tend vers 0. Il existe donc un N tel que, pour n >= N, il soit < epsilon/2

D'où la conclusion.

Sauf erreur.

Posté par Skops Skops

J'ai In+In-1=1/n!

Skops

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

D'où l'expression de In en fonction de n, et une limite connue.

Posté par otto otto

Bonjour,
tu peux faire une majoration /minoration directe sur exp(t) et ensuite tu calcules explicitement les 2 bornes qui tendent vers 0 + thm des gendarmes.

Posté par Skops Skops

Merci à vous deux

Skops

Posté par soucou soucou

Salut,

Avec la formule de Taylor avec reste intégrale de la fonction sur ?

Posté par Skops Skops

C'était justement le but du calcul que de calculer la convergence de cette somme

Skops

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

Dans ce cas, un calcul du type de 21h36 montre que In --> 0
Or In = e - somme
donc la somme tend vers e.

Posté par Skops Skops

J'en ai une autre



Montrer que ca tend vers 0
L'inégalité de la moyenne ne me donne rien ni un encadrement

Cauchy Schwarz ?

Skops

Posté par gui_tou gui_tou

salut

une IPP te donnera une relation entre I(n) et I(n+1) (normalement ^^)

Posté par Skops Skops

Je n'en trouve pas

Skops

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

Autre méthode (potentielle) :
Voir si on peut majorer x.e^-x sur [0;n] par une une étude de variations classique. Je n'ai pas encore essayé.

Posté par Skops Skops

J'essaye

Skops

Posté par Skops Skops

Majoré par 1/e (sauf erreur)

Skops

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

Dans ce cas, l'intégrale est majorée par n/eⁿ qui tend vers 0.