Forum : algèbre :
somme directe

Bonsoir , j'ai un endomorphisme f d'un espace vectoriel E sur un corps commutatif k .

F = ker(f - id) = x E | f(x) = x .

Pourquoi ils disent dans la correction que F est le sous espace propre associé à la valeur 1 et ker(f) à la valeur 0 ?

merci

Bonjour
par définition le ssev propre associé à 1 est l'ensemble des x tels que f(x) = 1.x = x, et le ssev propre associé à 0 est l'ensemble des x tels que f(x) = 0.x = O_E

ok lafol mais alors ici l'endomorphisme f c'est quoi finalement car ils disent à quoi est égal ker(f - id) mais on a aucune information sur f , non ?

PS : quel est le théorème qui peut justifier que F + ker(f) sont en somme directe ?

Le th., c'est que des espaces propres associés à des valeurs propres distinctes sont toujours en somme firecte.
Ker(f - Id), c'est l'espace des invariants .... je ne sais pas ce qu'il y a d'autre dans ton énoncé

espace des invariants ? cela veut dire quoi ?

les x qui sont transformés en eux même

oui mais f alors représente quoi?

je n'en sais rien : que dit ton énoncé ?

rien de plus justement c'est frustrant car tu dis bien ce que représente ker(f-id) mais on a aucune information sur f...

Au fait , comment tu sais que ker(f-id) ce sont les invariants , j'ai du mal à le justifier...

c'est l'ensemble des x tels que (f-Id)x = O_E,
c'est à dire f(x)-x = O_E c'est à dire f(x) = x ...

merci bcp pour ton aide lafol

avec plaisir