trinome

Posté par Redman Redman

bonjour,

soit p et q deux complexes, P le polynôme:


Condition nécessaire et suffisante sur p,q pour que les racines de P aient:

  a) le même module
  b) le même argument
  c) des arguments opposés

(Ceci est un oral de l'X posé l'année dernière)

merci d'avance, toute idée est la bienvenue

Posté par pgeod pgeod

bonjour,

-p est la somme des racines z1+z2
q est le produit des racines z1*z2

...

Posté par Redman Redman

et

Posté par perroquet perroquet

Bonjour, redman

La question c) est de loin la plus facile.
Si les deux racines ont des arguments opposés, leur produit, qui vaut q, est strictement positif.
Réciproquement, si q est strictement positif, les deux racines ont des arguments opposés.

Posté par perroquet perroquet

Passons à la question b.

Si les deux racines ont même argument, on peut écrire






On en déduit que:           et      

Réciproquement, si ces deux conditions sont satisfaites, il est facile de vérifier que les deux racines ont même argument.

Posté par perroquet perroquet

Pour la question a, dont j'ai la solution, je vais attendre que redman (ou quelqu'un d'autre ) se manifeste.

Posté par disdrometre disdrometre

salut

a) même module.

il faut que O est sur la médiatrice de M1 et M2 les points d'affixes z1 et z2 racines de l'équation

en traduisant que le produit scalaire de M1M2.OI = 0  I milieu de [M1M2] a comme affixe (z1+z2)/2
donc (z1+z2)(z1-z2)* =0 (1) a* conjugué de a


1 - cas M1 et M2 ne sont pas confondus, pas de racines doubles.  


(1) =>  z1+z2=0 => p=0 et q quelconque.

2. une racine double  M2=M1 donc z2=z1


alors q=p^2/4

Posté par disdrometre disdrometre

salut perroquet

Posté par perroquet perroquet

Bonjour, disdrometre

Ta solution comporte une erreur



C'est la partie réelle de cette expression qui est nulle (la partie imaginaire pouvant être non nulle).

Posté par disdrometre disdrometre

bonne remarque !
je vais réfléchir..

Posté par disdrometre disdrometre

a,b les racines du polynôme

b a le même module que a, b est donc déduit de a par une rotation de centre O et d'angle c ( c réel)

b=aexp(ic)

|q| = |a|

p = -a(1 + exp(ic))

|p| = |a|( 2 + 2cos(c))


il faut  que    

Posté par disdrometre disdrometre

erreur



la condition il faut que



pour que le polynôme admet des racines de même module

Posté par Redman Redman

excusez moi je m'étais absenté.
en tout cas merci pour toutes vos propositions, je vais regarder ca de plus près...