Forum : analyse :
Intégrale

Bonjour,

1) Est ce que si alors f(t)=g(t) ?
Sinon, quelles sont les hypothèses supplémentaires à prendre en compte ?

2) On sait que si f est positive, non nulle et continue alors son intégrale est positive
Mais si l'intégrale est positive, on ne peut rien dire ?

Skops

Salut

1) C'est faux, tu vas trouver un contre exemple non ?

2) L'intégrale peut être positive sur le segment [a,b] mais la fonction peut être positive puis négative ou je ne sais quoi d'autre.

Salut

1) J'en étais sûr... dommage ^^

2) Dommage aussi ^^

Skops

Salut

1) Je pense par contre qu'on peut trouver une condition du style "Si les fonctions coïncident sur une partie dense et sont d'intégrale égale alors elles sont égales"

Partie dense ?

Skops

Tu n'as pas vu ça cette année?

Partie dense = partie dont toutes les suites convergentes à valeur dans cette partie ont une limite dans celle-ci. (En terme topologie, une partie dense dans E est une partie dont l'adhérence est égale à E.)

Bonjour,
en fait on peut clairement trouver un contre exemple:
[a,b]=[0,1]
f une fonction intégrable quelconque non constante, d'intégrale A.
g=A

mais il est amusant d'utiliser un argument du style:
si c'était vrai la fonction qui à f associe son intégrale sur [a,b] réalise une bijection de l'ensemble des fonctions intégrables sur [a,b] dans l'ensemble des réels et on remarque facilement que cela implique 2 contradictions:
l'ensemble des fonctions intégrables doit être de dimension 1 sur R.
l'ensemble des fonctions intégrables doit être de même cardinalité que R.

En quelque sorte, tu peux te rendre compte avec ce que je viens de dire que l'intégrale ne permet pas bien de distinguer 2 fonctions puisque tu passes d'un espace de dimension infinie à un espace de dimension 1.

Non

D'accord

Skops

Je suis pas du tout sûr de mon truc de densité... quelqu'un peut confirmer ou infirmer?

Bonjour

Bonjour

Non, Jord, ça ne suffit pas. Modifie une fonction en un seul point, son intégrale ne bouge pas! D'autre part, si tu les supposes continues, et si elles coïncident sur une partie dense, elles sont déjà égales sans hypothèse sur les intégrales...

Ce qui est vrai c'est que si f est continue, positive et d'intégrale nulle, alors f est nulle.

D'accord Camélia

Oui on est d'accord pour le cas continue, ici je n'avais pas supposée f continue.

Merci!