parallélisme

Posté par romu romu

Bonsoir,

Soient des points non alignés d'un espace affine tels que
est parallèle à et est parallèle à .

Comment montrer que ces quatre points forment un paralélogramme, ie ?

Merci pour votre aide.

Posté par orelo orelo

Salut,

ce n'est pas la définition d'un parallélogramme (AB)//(DC) et (AD)//(BC) ?

Posté par pgeod pgeod

bonsoir,

(AB) // (DC) => les points A, B, C et D sont coplanaires.
(AB) // (DC) et (AD) // (BC) => ABCD parallélogramme (par définition)

...

Posté par orelo orelo

d'ailleurs, on définit AB=DC (en vecteur) si ABCD est un parallélogramme ?

est ce qu'il existe un autre moyen de définir l'égalité de 2 vecteurs en géométrie ?

Posté par Arkhnor Arkhnor

Bonjour.
Un espace affine est fondé sur un espace vectoriel, il n'y a donc plus à définir l'égalité de deux vecteurs.
Je me souviens d'avoir trouvé cet exercice sur un livre, et de l'avoir fait.
Il fallait partir de la colinéarité des vecteurs, en faisant apparaitre deux coefficients k1 et k2, puis d'essayer d'exprimer le vecteur AB en fonction de AD (en utilisant Chasles), ce qui force k1 et k2 à etre égaux à 1.

(sauf erreur)

Posté par orelo orelo

il faut montrer que AB= DC alors ?

(AB)//(DC) => DC=k1.AB
(AD)//(BC) => AD=k2.BC

AC=AD+DC = k1.AB + k2.BC

or

AC=AB + BC

comme AB BC forme une base

k1=1 et k2=1

Posté par romu romu

Bonsoir à vous deux et déjà merci pour vos réponses rapides



c'est celle qu'on m'a donné en petite classe, mais apparemment ce n'est plus celle choisie maintenant, dans mon cours sur les espace affines le parallélogramme est défini bien avant les notions de parallélisme.



effectivement je me suis gourré ,

on définit un parallélogramme de cette façon dans mon cours:

Quatre points forment un parallélogramme si .

On est sensé avoir fait de l'algèbre linéaire donc je pense que l'égalité entre deux vecteurs ne doit pas poser de prolèmes de définition ici.

Je reformule ma question:

C'est clair que la nouvelle définition du parallélogramme vérifie celle des petites classes, en revanche j'ai du mal à voir la réciproque.

Sinon c'est ok pour vérifier l'égalité vectorielle initiale à partir de la nouvelle définition, si j'ai quatre points qui forment un parallélogramme,

on a , la première égalité étant due à la relation de Chasles et la seconde du fait que .

Posté par romu romu

Bonsoir Arkhnor,

je n'avais pas vu vos deux derniers posts, j'avais testé cette piste, mais je n'avais pas pensé à utiliser la caractère libre de .

Merci à vous maintenant c'est clair.

Posté par Arkhnor Arkhnor

De rien